Чтобы найти предел выражения $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$, воспользуемся известным пределом:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

В нашем случае под синусом стоит выражение $3x$, поэтому преобразуем исходное выражение:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3$

Теперь мы можем воспользоваться указанным выше пределом, поскольку $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 1 \cdot 3 = 3$

Таким образом, значение предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3$

---

Хотите, чтобы я пояснил детали решения?

Вопросы для расширения темы:

1. Как решать пределы с помощью правила Лопиталя?
2. В чем разница между односторонними и двусторонними пределами?
3. Как вычислить пределы для других тригонометрических функций, например, $\cos x$?
4. Можно ли использовать этот подход для нелинейных выражений, содержащих синус?
5. Как изменится ответ, если под синусом стоит выражение $kx$ с произвольным $k$?

Совет:

При решении пределов с тригонометрическими функциями всегда полезно помнить ключевые пределы, такие как $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, чтобы упростить вычисления.