Kita diminta menentukan hasil limit berikut:
$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27}.$

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Substitusi langsung

Substitusi $x = 3$ ke fungsi: $\frac{\sqrt{3(3) - 5} - 2}{3^3 - 27} = \frac{\sqrt{9 - 5} - 2}{27 - 27} = \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}.$ Hasilnya tidak terdefinisi ($\frac{0}{0}$), sehingga perlu digunakan manipulasi lanjutan.

---

2. Manipulasi bentuk pembilang

Perhatikan pembilang $\sqrt{3x - 5} - 2$. Kita kalikan dengan bentuk sekawan: $\sqrt{3x-5} - 2 \quad \text{dikalikan dengan} \quad \sqrt{3x-5} + 2.$ Maka: $(\sqrt{3x-5} - 2)(\sqrt{3x-5} + 2) = (3x-5) - 4 = 3x - 9.$ Sehingga: $\frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} = \frac{3x-9}{(x^3 - 27)(\sqrt{3x-5} + 2)}.$

---

3. Faktorisasi penyebut $x^3 - 27$

Gunakan rumus selisih kubus:
$x^3 - 27 = (x-3)(x^2 + 3x + 9).$

Substitusikan hasil ini: $\frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} = \frac{3x-9}{(x-3)(x^2 + 3x + 9)(\sqrt{3x-5} + 2)}.$

---

4. Sederhanakan

Faktorkan pembilang $3x-9 = 3(x-3)$, sehingga: $\frac{3x-9}{(x-3)(x^2 + 3x + 9)(\sqrt{3x-5} + 2)} = \frac{3(x-3)}{(x-3)(x^2 + 3x + 9)(\sqrt{3x-5} + 2)}.$

Coret $x-3$ (dengan syarat $x \neq 3$): $\frac{3}{(x^2 + 3x + 9)(\sqrt{3x-5} + 2)}.$

---

5. Substitusi $x = 3$

Substitusikan $x = 3$ ke bentuk yang disederhanakan: $x^2 + 3x + 9 = 3^2 + 3(3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27,$ dan: $\sqrt{3(3)-5} + 2 = \sqrt{9-5} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4.$

Maka: $\frac{3}{(x^2 + 3x + 9)(\sqrt{3x-5} + 2)} = \frac{3}{27 \cdot 4} = \frac{3}{108} = \frac{1}{36}.$

---

Hasil Akhir

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{3x-5} - 2}{x^3 - 27} = \frac{1}{36}.$

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? 😊

5 Pertanyaan Terkait

1. Bagaimana cara menggunakan bentuk sekawan untuk manipulasi limit fungsi lainnya?
2. Apa aturan umum untuk menyederhanakan limit dengan indeterminan $\frac{0}{0}$?
3. Bagaimana cara menerapkan faktorisasi pada ekspresi berbentuk kubus?
4. Apa itu rumus selisih kubus dan bagaimana penerapannya?
5. Bagaimana manipulasi pembilang membantu menyelesaikan limit yang kompleks?

Tip:

Selalu periksa substitusi langsung terlebih dahulu untuk menentukan jenis indeterminan sebelum menggunakan teknik manipulasi.