Diketahui fungsi $f(x) = \frac{|2 - x|}{x^2 - 4}$, kita akan menganalisis limit dan nilai fungsi yang terkait, serta menentukan mana pernyataan yang benar dari pilihan-pilihan yang diberikan.

1. Evaluasi fungsi di $x = 2$:

$f(2) = \frac{|2 - 2|}{2^2 - 4} = \frac{0}{4 - 4} = \frac{0}{0}$

Nilai $f(2)$ tidak terdefinisi karena menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

Kesimpulan: Pernyataan (a) dan (g) salah karena $f(2)$ tidak ada atau tidak terdefinisi.

2. Limit $\lim_{x \to 2} f(x)$:

Kita akan menghitung limit $f(x)$ saat $x$ mendekati 2. Perhatikan bahwa $x^2 - 4$ dapat difaktorkan menjadi:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Sehingga $f(x)$ dapat ditulis ulang sebagai:

$f(x) = \frac{|2 - x|}{(x - 2)(x + 2)}$

Sekarang, kita tinjau limit dari kiri ($x \to 2^-$) dan dari kanan ($x \to 2^+$).

a. Limit dari kiri ($x \to 2^-$):

Ketika $x \to 2^-$, $2 - x$ positif, sehingga $|2 - x| = 2 - x$. Maka:

$f(x) = \frac{2 - x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{-(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{-1}{x + 2}$

Lalu, hitung limit:

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{x + 2} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$

Jadi, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\frac{1}{4}$.

b. Limit dari kanan ($x \to 2^+$):

Ketika $x \to 2^+$, $2 - x$ negatif, sehingga $|2 - x| = -(2 - x) = x - 2$. Maka:

$f(x) = \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}$

Lalu, hitung limit:

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4}$

Jadi, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{4}$.

3. Evaluasi pilihan jawaban:

• (a) Salah, karena $f(2)$ tidak terdefinisi.
• (b) Salah, $\lim_{x \to 2} f(x)$ tidak sama dengan $-\frac{1}{4}$, karena limit dari kiri dan kanan tidak sama.
• (c) Salah, $\lim_{x \to 2} f(x)$ tidak ada karena limit dari kiri dan kanan berbeda.
• (d) Benar, $\lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{x + 2} = -\frac{1}{4}$.
• (e) Salah, $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x + 2}$ bukan $\frac{1}{4}$, tapi $-\frac{1}{4}$.
• (f) Benar, $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4}$.
• (g) Salah, $f(2)$ tidak terdefinisi.
• (h) Salah, karena $\lim_{x \to 2^+} \frac{-1}{x + 2}$ bukan $-\frac{1}{4}$, melainkan $\frac{1}{4}$.

Jawaban yang benar adalah:

• (d) $\lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{x + 2} = -\frac{1}{4}$
• (f) $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4}$

Apakah ada bagian yang ingin diperjelas? Atau mungkin kamu ingin detail lebih lanjut?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara mendeteksi limit satu sisi dalam fungsi pecahan?
2. Mengapa nilai $f(2)$ tidak terdefinisi?
3. Apa perbedaan antara limit dari kiri dan limit dari kanan?
4. Bagaimana cara memfaktorkan bentuk kuadrat untuk menyederhanakan fungsi?
5. Kapan suatu fungsi dianggap memiliki limit yang berbeda dari arah kiri dan kanan?

Tip: Saat menghitung limit satu sisi, selalu perhatikan tanda dari ekspresi dalam nilai mutlak agar hasilnya tepat.