Рассчитаем предел данной функции:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^7 + 2x^5 - 4}{3x^7 + 12}.$

Шаг 1: Найдём ведущие члены числителя и знаменателя

При $x \to \infty$, наибольший порядок будет определять поведение всей функции:

• В числителе $x^7 + 2x^5 - 4$ ведущий член — $x^7$,
• В знаменателе $3x^7 + 12$ ведущий член — $3x^7$.

Шаг 2: Разделим числитель и знаменатель на $x^7$

$\frac{x^7 + 2x^5 - 4}{3x^7 + 12} = \frac{\frac{x^7}{x^7} + \frac{2x^5}{x^7} - \frac{4}{x^7}}{\frac{3x^7}{x^7} + \frac{12}{x^7}}.$

Упрощаем каждый член: $\frac{x^7 + 2x^5 - 4}{3x^7 + 12} = \frac{1 + \frac{2}{x^2} - \frac{4}{x^7}}{3 + \frac{12}{x^7}}.$

Шаг 3: Предел при $x \to \infty$

Когда $x \to \infty$, все члены, содержащие $\frac{1}{x^n}$ (где $n > 0$), стремятся к нулю: $\frac{1 + \frac{2}{x^2} - \frac{4}{x^7}}{3 + \frac{12}{x^7}} \to \frac{1 + 0 - 0}{3 + 0} = \frac{1}{3}.$

Шаг 4: Округлим результат до десятых

$\frac{1}{3} \approx 0.3.$

Ответ:

Предел равен 0.3.

Есть ли у вас дополнительные вопросы? Вот несколько похожих задач для размышления:

1. Каков предел $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^6 + 3x^4}{2x^6 + x^3}$?
2. Найдите предел $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^7 - x^2}{x^7 + 5}$.
3. Как рассчитать предел при $x \to -\infty$ для похожей функции?
4. Какие методы существуют для нахождения пределов многочленов?
5. Можно ли применять тот же метод для рациональных функций с корнями?

Совет: При работе с пределами многочленов всегда выделяйте ведущий член, так как он определяет поведение функции при $x \to \infty$.