Означення границі послідовності і підбери 3 приклади 

**Границя послідовності** — це значення, до якого наближаються елементи послідовності, коли її індекс прямує до нескінченності. Формально, послідовність \( \{a_n\} \) має границю \( L \), якщо для будь-якого малого позитивного числа \( \varepsilon \) можна знайти такий номер \( N \), що для всіх \( n > N \) виконується нерівність:

\[
|a_n - L| < \varepsilon
\]

Це означає, що починаючи з деякого моменту всі члени послідовності знаходяться дуже близько до границі \( L \).

### Приклади послідовностей з границями:
1. **Послідовність \( a_n = \frac{1}{n} \)**  
   Границя \( L = 0 \), оскільки при \( n \to \infty \), \( \frac{1}{n} \to 0 \).

2. **Послідовність \( a_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n} \)**  
   Границя \( L = 0 \), хоча члени послідовності змінюють знак, їх абсолютні значення прямують до нуля.

3. **Послідовність \( a_n = 1 - \frac{1}{n} \)**  
   Границя \( L = 1 \), оскільки при \( n \to \infty \), \( 1 - \frac{1}{n} \to 1 \).

Ці приклади демонструють різні типи збіжності послідовностей.

Чи потрібні додаткові пояснення або питання?

### Додаткові питання:
1. Як довести збіжність послідовності \( a_n = \frac{1}{n^2} \) до 0?
2. Чим відрізняються збіжні і розбіжні послідовності?
3. Що таке границя функції, і як вона співвідноситься з границею послідовності?
4. Які послідовності не мають границь?
5. Як впливає знак членів послідовності на її збіжність?

### Порада:  
Щоб знайти границю послідовності, завжди корисно спочатку визначити її поведінку при великих \( n \).

Означення границі послідовності і підбери 3 приклади

Explore the concept of the limit of a sequence with a formal definition and three practical examples. Learn how sequences approach their limits and how convergence is determined using the epsilon (ε) criterion. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation