https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726325037067m62xa8a6.jpg

Kita diberikan limit berikut:

\[
\lim_{{x \to \pi}} \frac{1 + \cos(x)}{\sin(2x)}
\]

Langkah-langkah untuk menyelesaikan limit ini:

1. **Substitusi langsung nilai \( x = \pi \):**

   Kita coba substitusi \( x = \pi \) langsung ke dalam fungsi:
   
   \[
   1 + \cos(\pi) = 1 + (-1) = 0
   \]
   
   dan
   
   \[
   \sin(2\pi) = \sin(0) = 0
   \]
   
   Jadi, substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \), yang menunjukkan bahwa kita bisa menggunakan **aturan L'Hopital**.

2. **Menggunakan Aturan L'Hopital:**

   Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika kita memiliki bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \), kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah. Maka, kita cari turunan dari pembilang dan penyebut.

   - Turunan dari \( 1 + \cos(x) \) adalah \( -\sin(x) \).
   - Turunan dari \( \sin(2x) \) adalah \( 2\cos(2x) \).
   
   Jadi, kita mendapatkan:

   \[
   \lim_{{x \to \pi}} \frac{-\sin(x)}{2\cos(2x)}
   \]

3. **Substitusi ulang \( x = \pi \):**

   Sekarang kita substitusi \( x = \pi \) ke dalam hasil turunan:

   - \( \sin(\pi) = 0 \)
   - \( \cos(2\pi) = 1 \)

   Maka, kita mendapatkan:

   \[
   \frac{0}{2 \times 1} = 0
   \]

Jadi, nilai limitnya adalah:

\[
\boxed{0}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang dapat membantu memperdalam pemahaman Anda:

1. Bagaimana kita menentukan kapan harus menggunakan aturan L'Hopital?
2. Apakah ada cara lain untuk menyelesaikan limit tak tentu selain aturan L'Hopital?
3. Bagaimana cara menghitung turunan dari fungsi trigonometri secara umum?
4. Mengapa substitusi awal menghasilkan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \)?
5. Bagaimana aturan L'Hopital bekerja pada bentuk tak tentu lainnya, seperti \( \frac{\infty}{\infty} \)?

**Tip:** Saat bekerja dengan limit, penting untuk memeriksa apakah ada bentuk tak tentu sebelum memutuskan metode penyelesaiannya.

Find the limit of (1 + cos(x)) / sin(2x) as x approaches π.

This problem involves finding the limit of (1 + cos(x)) / sin(2x) as x approaches π using L'Hopital's Rule. A step-by-step solution shows how to differentiate the numerator and denominator to solve this trigonometric limit.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation