Gambar yang Anda unggah adalah limit fungsi matematika:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{x - \sin(2x)}{2x + \tan(x)}$

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan ekspansi deret Taylor untuk $\sin(2x)$ dan $\tan(x)$ di dekat $x = 0$:

$\sin(2x) \approx 2x - \frac{(2x)^3}{6} + O(x^5) = 2x - \frac{4x^3}{6} + O(x^5)$ $\tan(x) \approx x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

Mengganti ini ke dalam limit kita:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{x - (2x - \frac{4x^3}{6})}{2x + (x + \frac{x^3}{3})}$

Sederhanakan ekspresi di atas:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{x - 2x + \frac{4x^3}{6}}{3x + \frac{x^3}{3}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{-x + \frac{4x^3}{6}}{3x + \frac{x^3}{3}}$

$= \lim_{{x \to 0}} \frac{-x(1 - \frac{4x^2}{6})}{x(3 + \frac{x^2}{3})} = \lim_{{x \to 0}} \frac{-1 + \frac{4x^2}{6}}{3 + \frac{x^2}{3}}$

Karena $x^2$ mendekati nol lebih cepat daripada $x$, kita bisa mengabaikan $x^2$ dalam limit untuk $x \to 0$:

$= \frac{-1}{3}$

Jadi, nilai limit ini adalah $-\frac{1}{3}$.

Apakah ada bagian yang ingin Anda ketahui lebih lanjut atau ada pertanyaan lain yang berhubungan dengan ini? Berikut beberapa pertanyaan yang dapat Anda pertimbangkan:

1. Bagaimana jika limit didekati dari nilai $x$ positif atau negatif?
2. Bagaimana ekspansi deret Taylor mempengaruhi penyelesaian limit ini?
3. Apa pengaruh deret tinggi dalam ekspansi terhadap hasil limit?
4. Dapatkah metode numerik digunakan untuk memverifikasi hasil ini?
5. Bagaimana penggunaan aturan L'Hôpital dapat mempermudah penyelesaian limit ini?

Tip: Saat menghitung limit yang melibatkan fungsi trigonometri dan eksponensial, seringkali membantu untuk menggunakan ekspansi deret Taylor atau Maclaurin untuk menyederhanakan dan menyelesaikan limit.