Untuk menyelesaikan limit berikut:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \tan(3x)$

Mari kita uraikan langkah demi langkah.

1. Analisis dari limit saat $x \to \frac{\pi}{2}$:

Saat $x$ mendekati $\frac{\pi}{2}$, ada dua komponen dalam ekspresi:

• $(x - \frac{\pi}{2})$ mendekati 0 karena nilai $x$ mendekati $\frac{\pi}{2}$.
• $\tan(3x)$ mendekati tak hingga (baik positif atau negatif, tergantung dari arah pendekatan) karena $\tan$ memiliki asimtot vertikal pada nilai-nilai ganjil dari $\frac{\pi}{2}$.

Secara langsung, limit ini terlihat sebagai bentuk tak tentu, karena kita mendapatkan bentuk $[0 \cdot \infty]$. Untuk menyelesaikan bentuk ini, kita bisa mencoba metode substitusi dan pemfaktoran.

2. Substitusi:

Mari kita substitusi $u = x - \frac{\pi}{2}$, sehingga saat $x \to \frac{\pi}{2}$, $u \to 0$. Sekarang kita substitusi ke dalam fungsi:

$\lim_{u \to 0} u \cdot \tan(3(u + \frac{\pi}{2}))$

3. Gunakan identitas trigonometri:

Kita gunakan identitas untuk $\tan(3(u + \frac{\pi}{2}))$. Kita tahu bahwa:

$\tan\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\cot(\theta)$

Jadi:

$\tan(3(u + \frac{\pi}{2})) = -\cot(3u)$

Sehingga limit menjadi:

$\lim_{u \to 0} u \cdot (-\cot(3u))$

4. Evaluasi limit:

Sekarang, kita tahu bahwa $\cot(3u) = \frac{1}{\tan(3u)}$, dan karena $\tan(3u) \sim 3u$ saat $u \to 0$, kita dapat menyederhanakan:

$-\cot(3u) \sim -\frac{1}{3u}$

Substitusikan ini ke dalam limit:

$\lim_{u \to 0} u \cdot \left(-\frac{1}{3u}\right) = \lim_{u \to 0} -\frac{u}{3u} = -\frac{1}{3}$

Jawaban akhir:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \tan(3x) = -\frac{1}{3}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan limit jika terdapat bentuk tak tentu $[0 \cdot \infty]$?
2. Apa hubungan antara fungsi trigonometri seperti $\tan(x)$ dan asimtot vertikal?
3. Bagaimana kita bisa menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan limit?
4. Apa itu bentuk tak tentu dan bagaimana metode penyelesaiannya?
5. Bagaimana cara mengaplikasikan metode substitusi dalam limit fungsi?

Tip: Saat menghadapi bentuk tak tentu seperti $[0 \cdot \infty]$, coba gunakan metode substitusi atau identitas aljabar untuk menyederhanakannya.