Рассмотрим выражение:

$\lim_{x \to \infty} \left( x - 4\sqrt{x} - 2 \right)$

Шаг 1: Разложим на компоненты

Выражение состоит из трёх частей: $x$, $-4\sqrt{x}$, и $-2$. Важно проанализировать поведение каждого из этих элементов при $x \to \infty$.

• $x$ стремится к бесконечности.
• $\sqrt{x}$ также стремится к бесконечности, но медленнее, чем $x$. Соответственно, $4\sqrt{x}$ тоже стремится к бесконечности, но медленнее, чем само $x$.
• $-2$ — это постоянное число.

Шаг 2: Доминирующий элемент

Самым быстрорастущим элементом является $x$. Следовательно, при $x \to \infty$, $x - 4\sqrt{x}$ будет стремиться к бесконечности, поскольку $x$ растёт быстрее, чем $4\sqrt{x}$.

Шаг 3: Окончательное решение

Таким образом,

$\lim_{x \to \infty} \left( x - 4\sqrt{x} - 2 \right) = \infty$

Ответ: $\infty$.

---

Есть ли у вас вопросы по решению?

Вопросы для дальнейшего исследования:

1. Как изменилось бы решение, если вместо $4\sqrt{x}$ было бы $x^2$?
2. Как находить пределы для более сложных иррациональных функций?
3. Что происходит с пределом, если $x \to -\infty$?
4. Какие методы существуют для анализа сходимости бесконечных пределов?
5. Как влияют малые члены в выражениях на конечный результат предела?

Совет:

При работе с пределами важно всегда проверять доминирующие слагаемые, так как именно они определяют поведение функции на бесконечности.