hitung limit berikut (bila ada) lim x → - ∞ (√x²-3x - √x²-3)

Kita akan menghitung limit berikut:

\[
\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 - 3x} - \sqrt{x^2 - 3} \right)
\]

### Langkah 1: Mengalikan dengan bentuk sekawan
Untuk menghitung limit dari bentuk yang melibatkan akar, kita sering kali menggunakan trik mengalikan dengan bentuk sekawan. Bentuk sekawan dari \( \sqrt{x^2 - 3x} - \sqrt{x^2 - 3} \) adalah \( \sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 3} \).

Maka, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan:

\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{\left( \sqrt{x^2 - 3x} - \sqrt{x^2 - 3} \right) \cdot \left( \sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 3} \right)}{\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 3}}
\]

### Langkah 2: Menggunakan identitas aljabar
Dengan menggunakan identitas aljabar \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \), maka pembilang menjadi:

\[
= \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 - 3x) - (x^2 - 3)}{\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 3}}
\]

Menyederhanakan pembilang:

\[
= \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 3x - x^2 + 3}{\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 3}}
= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x + 3}{\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 3}}
\]

### Langkah 3: Mengambil limit
Sekarang kita akan memeriksa bagaimana perilaku masing-masing bagian dari ekspresi ketika \( x \to -\infty \).

Untuk penyebut \( \sqrt{x^2 - 3x} \) dan \( \sqrt{x^2 - 3} \), karena \( x^2 \) mendominasi untuk nilai \( x \) yang besar (baik positif maupun negatif), kita dapat mendekati kedua akar sebagai \( |x| \).

- Untuk \( \sqrt{x^2 - 3x} \), kita dapat faktorkan \( x^2 \) di dalam akar:
\[
\sqrt{x^2 - 3x} = |x|\sqrt{1 - \frac{3}{x}} \approx |x| = -x \quad \text{(karena \( x \to -\infty \))}
\]

- Untuk \( \sqrt{x^2 - 3} \), kita juga mendekati dengan cara yang sama:
\[
\sqrt{x^2 - 3} = |x|\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}} \approx |x| = -x \quad \text{(karena \( x \to -\infty \))}
\]

Dengan pendekatan ini, penyebutnya menjadi:

\[
\sqrt{x^2 - 3x} + \sqrt{x^2 - 3} \approx -x + -x = -2x
\]

Sehingga, limit berubah menjadi:

\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x + 3}{-2x}
\]

### Langkah 4: Menyederhanakan
Sekarang kita sederhanakan ekspresi ini:

\[
= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x(1 - \frac{1}{x})}{-2x}
= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3(1 - \frac{1}{x})}{-2}
= \frac{3}{2}
\]

Jadi, limitnya adalah:

\[
\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 - 3x} - \sqrt{x^2 - 3} \right) = \frac{3}{2}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? 

Berikut 5 pertanyaan terkait untuk eksplorasi lebih lanjut:
1. Bagaimana cara mengalikan bentuk sekawan dalam limit lain?
2. Apa perbedaan antara limit di tak hingga dan limit di bilangan tertentu?
3. Mengapa akar dominan di tak hingga dapat disederhanakan menjadi bentuk yang lebih sederhana?
4. Bagaimana cara menyelesaikan limit menggunakan aturan L'Hopital?
5. Kapan pendekatan dominasi kuadrat seperti ini berguna dalam limit?

**Tip:** Saat menghitung limit dengan akar kuadrat, trik mengalikan dengan bentuk sekawan sering kali sangat membantu dalam menyederhanakan ekspresi yang rumit.

Learn how to calculate the limit of (√x²-3x - √x²-3) as x approaches negative infinity. This solution includes algebraic techniques such as multiplying by the conjugate, simplifying using difference of squares, and applying limit properties. Ideal for calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation