いい質問です。ここで扱っている2つの関数 $g(x) = \frac{1}{1 - x}$ と $f(x) = \frac{1}{x}$ に関する考察は、一見似ている状況ですが、実際には違う点があります。以下でそれぞれ詳しく見てみましょう。

1. $g(x) = \frac{1}{1 - x}$ の場合

$x = \lim_{n \to \infty} (1 - 10^{-n})$ という場合、$x$ は極限値として非常に1に近い値になります。ただし、完全に1に達することはありません。厳密には、$x = 1$ ではなく、近似的に $1$ に無限に近づく値です。

このとき、$g(x)$ は以下のように振る舞います。

$g(x) = \frac{1}{1 - x}$

極限として $x \to 1$ となると、分母 $1 - x$ が $0$ に近づきますが、完全に0になることはありません。このため、$g(x)$ は非常に大きな値になります。数学的に言うと、分母が0に近づくと関数は「発散」し、無限大に近づくという表現が適切です。つまり、$g(x) \to \infty$ です。

しかし、ここで注意が必要なのは、$g(x)$ は $x = 1$ では定義されていません。$x = 1$ のときに分母が完全に0となり、この値は未定義です。

2. $f(x) = \frac{1}{x}$ の場合

一方で、関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ についての議論では、$x = 0$ で分母が0になるため、関数は未定義であると説明しました。ここでも同様に、分母が0になる点（$x = 0$ や $x = 1$）では関数は未定義です。

まとめると

• $g(x) = \frac{1}{1 - x}$ の場合、$x \to 1$ では関数が無限大に発散するが、厳密には $x = 1$ のときは未定義です。
• $f(x) = \frac{1}{x}$ の場合、$x = 0$ では分母が0になるため未定義であり、発散することはありません。

矛盾はしていませんが、$x = 1$ に近づく場合の振る舞い（発散すること）と、未定義となる点（分母が完全に0になる場合）を区別することが重要です。

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この点についてもう少し詳しい説明が必要であれば教えてください。また、以下のような関連する問題も考えられます。

1. $g(x) = \frac{1}{1 - x}$ の $x = 0.99999$ の場合、$g(x)$ はどのくらいの値になるか？
2. $\lim_{x \to 1} g(x)$ の計算手順はどうなるか？
3. $f(x) = \frac{1}{x}$ の $x \to 0$ における挙動と、グラフの形状はどうなるか？
4. $g(x) = \frac{1}{1 - x}$ と $f(x) = \frac{1}{x}$ を比較した場合の違いは何か？
5. 発散する関数と未定義となる関数の違いを、他の例を用いて説明できるか？

Tip: 関数が「発散」する場合と「未定義」になる場合を区別することが、数学的理解を深める重要なポイントです。