Чтобы доказать, что

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0,$

рассмотрим последовательность $a_n = \sqrt[n]{n!}$ и покажем, что её предел равен бесконечности, что означает, что обратная последовательность $\frac{1}{a_n}$ стремится к нулю.

1. Использование определения корня: По определению $\sqrt[n]{n!}$ — это $(n!)^{\frac{1}{n}}$, поэтому наше утверждение сводится к исследованию предела

   $$\lim_{n \to \infty} (n!)^{\frac{1}{n}}.$$

2. Оценка факториала с помощью неравенства Стирлинга: Из формулы Стирлинга известно, что для больших $n$ можно приближённо записать

   $$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n.$$

   Следовательно,

   $$(n!)^{\frac{1}{n}} \approx \left( \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{2 \pi n} \cdot \frac{n}{e}.$$

3. Исследование предела для $\sqrt[n]{2 \pi n} \cdot \frac{n}{e}$: Заметим, что $\sqrt[n]{2 \pi n} \to 1$ при $n \to \infty$, так как $2 \pi n$ растёт медленнее, чем экспоненциальная функция от $n$. Следовательно, мы можем записать

   $$\lim_{n \to \infty} (n!)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e} = \infty.$$

   Это означает, что $\sqrt[n]{n!}$ действительно стремится к бесконечности, а значит, обратная последовательность

   $$\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$$

   стремится к нулю.

Таким образом, мы доказали, что

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0.$$

Могу ли я помочь с другими подробностями или объяснить что-либо дополнительно?

Вопросы для дальнейшего исследования:

1. Как используется формула Стирлинга в оценке факториалов?
2. Почему $\sqrt[n]{2 \pi n}$ стремится к 1 при $n \to \infty$?
3. Как доказать, что $\frac{n}{e}$ стремится к бесконечности?
4. Какие ещё методы существуют для нахождения подобных пределов?
5. Какую роль играет экспоненциальная функция в асимптотическом анализе?

Совет:

При работе с пределами последовательностей, содержащих факториалы, формула Стирлинга часто является полезным инструментом для оценки роста факториала.