n次根号下n的阶乘的极限是多少

我们要计算的极限是 \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} \)。

利用斯特林公式 \( n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \)，我们可以近似计算 \( n! \)：

\[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \]

将斯特林公式代入根号表达式中：

\[ \sqrt[n]{n!} \approx \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}} \cdot \sqrt[n]{\left(\frac{n}{e}\right)^n} \]

我们可以分别计算这两个部分的极限：

1. 对于 \( \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}} \)：

\[ \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}} = (2\pi n)^{1/(2n)} \]

当 \( n \to \infty \) 时，

\[ (2\pi n)^{1/(2n)} \to 1 \]

因为 \( 2\pi n \) 的 \( 1/(2n) \) 次幂趋近于 1。

2. 对于 \( \sqrt[n]{\left(\frac{n}{e}\right)^n} \)：

\[ \sqrt[n]{\left(\frac{n}{e}\right)^n} = \frac{n}{e} \]

所以，原表达式趋近于：

\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e} = \infty \]

因此，结论是：
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty \]

如有其他问题或需要进一步解释，请告诉我。

以下是你可能接下来会问的5个问题：
1. 如何证明斯特林公式？
2. 在什么情况下可以使用斯特林公式？
3. 其他阶乘的近似公式有哪些？
4. 如何求解复数的极限问题？
5. 数列和数列的极限之间有什么区别？

**提示：** 在计算阶乘的极限和近似时，斯特林公式是一种非常有用的工具，可以将阶乘表达式转换成更容易处理的形式。

Learn how to calculate the limit \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} \) using Stirling's approximation and limit theory. This problem explores advanced concepts in limit theory and factorial approximations.

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