我们要计算的极限是 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}$。

利用斯特林公式 $n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$，我们可以近似计算 $n!$：

$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

将斯特林公式代入根号表达式中：

[ \sqrt[n]{n!} \approx \sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}} \cdot \sqrt[n]{\left(\frac{n}{e}\right)^n} ]

我们可以分别计算这两个部分的极限：

1. 对于 $\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}}$：

$\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}} = (2\pi n)^{1/(2n)}$

当 $n \to \infty$ 时，

$(2\pi n)^{1/(2n)} \to 1$

因为 $2\pi n$ 的 $1/(2n)$ 次幂趋近于 1。

2. 对于 $\sqrt[n]{\left(\frac{n}{e}\right)^n}$：

$\sqrt[n]{\left(\frac{n}{e}\right)^n} = \frac{n}{e}$

所以，原表达式趋近于：

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e} = \infty$

因此，结论是： $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty$

如有其他问题或需要进一步解释，请告诉我。

以下是你可能接下来会问的5个问题：

1. 如何证明斯特林公式？
2. 在什么情况下可以使用斯特林公式？
3. 其他阶乘的近似公式有哪些？
4. 如何求解复数的极限问题？
5. 数列和数列的极限之间有什么区别？

提示： 在计算阶乘的极限和近似时，斯特林公式是一种非常有用的工具，可以将阶乘表达式转换成更容易处理的形式。