این سوال به حد (Limit) اشاره دارد و هدف آن این است که شما یاد بگیرید چگونه حد یک تابع را در یک نقطه خاص محاسبه کنید. این نوع سوالات در درس تحلیل ریاضی معمولاً بررسی می‌شود و مهارت‌های پایه‌ای در محاسبه حد را می‌سازد.

تجزیه و تحلیل سوال:

تابع شما به صورت زیر است:

$\lim_{{x \to 3}} \frac{1}{{3 - x}}$

در این سوال، می‌خواهیم حد عبارت $\frac{1}{{3 - x}}$ را وقتی $x$ به ۳ نزدیک می‌شود محاسبه کنیم.

مراحل حل:

1. تجزیه اولیه تابع: در ابتدا باید بررسی کنیم که تابع در نقطه‌ی $x = 3$ دچار چه رفتاری می‌شود. $\frac{1}{{3 - x}}$ وقتی $x = 3$ می‌شود، صورت به $\frac{1}{0}$ تبدیل می‌شود که غیرتعریف است. بنابراین، تابع در $x = 3$ منفرد است (یعنی در این نقطه حد ندارد به صورت معمول).

2. بررسی از دو طرف: حالا باید بررسی کنیم که آیا حد از سمت چپ و راست $x = 3$ وجود دارد یا نه. یعنی، اگر $x$ کمی کمتر از ۳ باشد (مثلاً $x = 2.9$) یا کمی بیشتر از ۳ (مثلاً $x = 3.1$)، چه اتفاقی می‌افتد.

   • اگر $x$ نزدیک به ۳ از سمت راست (یعنی $x > 3$) حرکت کند، عبارت $3 - x$ منفی خواهد بود و $1/(3 - x)$ به سمت منفی بی‌نهایت میل می‌کند.
   • اگر $x$ نزدیک به ۳ از سمت چپ (یعنی $x < 3$) حرکت کند، عبارت $3 - x$ مثبت خواهد بود و $1/(3 - x)$ به سمت مثبت بی‌نهایت میل می‌کند.

3. نتیجه‌گیری: از آنجا که حد از سمت چپ و راست به مقادیر متفاوتی می‌رود (یکی به سمت منفی بی‌نهایت و دیگری به سمت مثبت بی‌نهایت)، حد در $x = 3$ وجود ندارد.

نتیجه نهایی:

این حد در $x = 3$ به دلیل منفرد بودن تابع و تفاوت رفتار از سمت چپ و راست، وجود ندارد.

نکاتی که باید بدانید:

• مفهوم حد: شما باید با مفهوم حد و چگونگی تحلیل رفتار توابع در نقاط خاص آشنا باشید.
• منفرد بودن تابع: اگر در صورت تابع مقدار صفر در مخرج قرار بگیرد، باید بدانید که این ممکن است به معنای وجود یک منفرد باشد.
• حد از سمت چپ و راست: باید یاد بگیرید که برای برخی از توابع، بررسی حد از دو طرف مهم است.

اگر سوالی دارید یا می‌خواهید جزئیات بیشتری درباره تحلیل حدها یاد بگیرید، خوشحال می‌شوم کمک کنم.

سوالات مرتبط:

1. حد چیست و چه کاربردهایی دارد؟
2. حد یک تابع از سمت چپ و راست را چگونه محاسبه کنیم؟
3. چه زمانی حد یک تابع در نقطه‌ای وجود ندارد؟
4. مفهوم "منفرد" بودن تابع به چه معنی است؟
5. چگونه می‌توانیم تحلیل حد را برای توابع پیچیده‌تر انجام دهیم؟

نکته: برای توابعی که در نقاط خاص منفرد هستند، می‌توانید از حد یکطرفه یا مفاهیم "نقطه ویژه" برای تحلیل دقیق‌تر استفاده کنید.