Jika X = 1! + 2! + 3! + ... + 2024!

3 digit terakhir dari X adalah ...

a. 113

b. 213

c. 313

d. 413

e. 513

Mari kita analisis soal ini.

### 1. **Faktorial**  
Faktorial \( n! \) didefinisikan sebagai hasil perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 hingga \( n \). Untuk bilangan besar seperti \( n! \) dengan \( n \geq 10 \), hasil faktorial akan selalu memiliki setidaknya tiga faktor 10. Hal ini terjadi karena:
\[
10 = 2 \times 5,
\]
dan dalam setiap faktorial \( n! \), terdapat cukup banyak pasangan 2 dan 5 yang membentuk 10.

Jadi, untuk \( n \geq 10 \), \( n! \) pasti memiliki tiga digit terakhir berupa **000**.

### 2. **Penyederhanaan Masalah**  
Dari informasi di atas, semua faktorial mulai dari \( 10! \) hingga \( 2024! \) tidak akan memengaruhi tiga digit terakhir dari jumlah \( X \), karena digit akhirnya adalah **000**. Jadi, cukup fokus pada jumlah faktorial dari \( 1! \) hingga \( 9! \).

\[
X = 1! + 2! + 3! + \dots + 2024!
\]
Dapat disederhanakan menjadi:
\[
X = 1! + 2! + 3! + \dots + 9!.
\]

### 3. **Hitung Faktorial dari \( 1! \) hingga \( 9! \)**
\[
\begin{aligned}
1! &= 1, \\
2! &= 2, \\
3! &= 6, \\
4! &= 24, \\
5! &= 120, \\
6! &= 720, \\
7! &= 5040, \\
8! &= 40320, \\
9! &= 362880.
\end{aligned}
\]

### 4. **Jumlahkan Tiga Digit Terakhir**
Kita hanya perlu menjumlahkan tiga digit terakhir dari setiap faktorial:

\[
\begin{aligned}
1! &\equiv 1 \,(\text{mod } 1000), \\
2! &\equiv 2 \,(\text{mod } 1000), \\
3! &\equiv 6 \,(\text{mod } 1000), \\
4! &\equiv 24 \,(\text{mod } 1000), \\
5! &\equiv 120 \,(\text{mod } 1000), \\
6! &\equiv 720 \,(\text{mod } 1000), \\
7! &\equiv 5040 \equiv 40 \,(\text{mod } 1000), \\
8! &\equiv 40320 \equiv 320 \,(\text{mod } 1000), \\
9! &\equiv 362880 \equiv 880 \,(\text{mod } 1000).
\end{aligned}
\]

Jumlah tiga digit terakhir:
\[
1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + 40 + 320 + 880 = 2133.
\]

Ambil tiga digit terakhir:
\[
2133 \,(\text{mod } 1000) = 133.
\]

Namun, ada koreksi penting pada pertanyaan asli untuk klarifikasi opsi. Apakah "133" salah ketik? Mari konfirmasi lebih lanjut!

Jika X = 1! + 2! + 3! + ... + 2024! 3 digit terakhir dari X adalah ... a. 113 b. 213 c. 313 d. 413 e. 513

Explore how to find the last three digits of the sum X = 1! + 2! + ... + 2024! using modular arithmetic and factorial properties. This problem is suitable for high school students and involves analyzing large factorials and their contributions to the summation.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation