Mari kita analisis soal ini.

1. Faktorial

Faktorial $n!$ didefinisikan sebagai hasil perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 hingga $n$. Untuk bilangan besar seperti $n!$ dengan $n \geq 10$, hasil faktorial akan selalu memiliki setidaknya tiga faktor 10. Hal ini terjadi karena: $10 = 2 \times 5,$ dan dalam setiap faktorial $n!$, terdapat cukup banyak pasangan 2 dan 5 yang membentuk 10.

Jadi, untuk $n \geq 10$, $n!$ pasti memiliki tiga digit terakhir berupa 000.

2. Penyederhanaan Masalah

Dari informasi di atas, semua faktorial mulai dari $10!$ hingga $2024!$ tidak akan memengaruhi tiga digit terakhir dari jumlah $X$, karena digit akhirnya adalah 000. Jadi, cukup fokus pada jumlah faktorial dari $1!$ hingga $9!$.

$X = 1! + 2! + 3! + \dots + 2024!$ Dapat disederhanakan menjadi: $X = 1! + 2! + 3! + \dots + 9!.$

3. Hitung Faktorial dari $1!$ hingga $9!$

1! &= 1, \\ 2! &= 2, \\ 3! &= 6, \\ 4! &= 24, \\ 5! &= 120, \\ 6! &= 720, \\ 7! &= 5040, \\ 8! &= 40320, \\ 9! &= 362880. \end{aligned}$$ ### 4. **Jumlahkan Tiga Digit Terakhir** Kita hanya perlu menjumlahkan tiga digit terakhir dari setiap faktorial: $$\begin{aligned} 1! &\equiv 1 \,(\text{mod } 1000), \\ 2! &\equiv 2 \,(\text{mod } 1000), \\ 3! &\equiv 6 \,(\text{mod } 1000), \\ 4! &\equiv 24 \,(\text{mod } 1000), \\ 5! &\equiv 120 \,(\text{mod } 1000), \\ 6! &\equiv 720 \,(\text{mod } 1000), \\ 7! &\equiv 5040 \equiv 40 \,(\text{mod } 1000), \\ 8! &\equiv 40320 \equiv 320 \,(\text{mod } 1000), \\ 9! &\equiv 362880 \equiv 880 \,(\text{mod } 1000). \end{aligned}$$ Jumlah tiga digit terakhir: $$1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + 40 + 320 + 880 = 2133.$$ Ambil tiga digit terakhir: $$2133 \,(\text{mod } 1000) = 133.$$ Namun, ada koreksi penting pada pertanyaan asli untuk klarifikasi opsi. Apakah "133" salah ketik? Mari konfirmasi lebih lanjut!