Partie a) Plus grand entier positif en base 3 avec 6 chiffres :

Le plus grand entier qu'on peut écrire en base 3 avec 6 chiffres consiste à utiliser le chiffre le plus élevé possible, soit $2$, à chaque position.

En base 3, chaque chiffre a une place de valeur croissante de droite à gauche, suivant les puissances de 3.

• En base 3 : $222222_3$

Calculons la valeur décimale de ce nombre : $222222_3 = 2 \times 3^5 + 2 \times 3^4 + 2 \times 3^3 + 2 \times 3^2 + 2 \times 3^1 + 2 \times 3^0$ $= 2 \times 243 + 2 \times 81 + 2 \times 27 + 2 \times 9 + 2 \times 3 + 2 \times 1$ $= 486 + 162 + 54 + 18 + 6 + 2 = 728$

Donc, le plus grand entier est :

• En base 3 : $222222_3$
• En décimal : $728$

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Partie b) Plus petit entier positif en base 3 avec 6 chiffres :

Le plus petit entier positif qu'on peut écrire avec 6 chiffres en base 3 est $100000_3$ (c'est-à-dire que tous les autres chiffres sont à zéro sauf le premier, pour garantir un nombre positif).

Calculons la valeur décimale de $100000_3$ : $100000_3 = 1 \times 3^5 = 243$

Donc, le plus petit entier est :

• En base 3 : $100000_3$
• En décimal : $243$

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Résumé des réponses :

a) Le plus grand entier :

• Base 3 : $222222_3$
• Décimal : $728$

b) Le plus petit entier :

• Base 3 : $100000_3$
• Décimal : $243$

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Voici quelques questions connexes pour approfondir le sujet :

1. Comment convertir un nombre décimal en base 3 ?
2. Quels sont les avantages de travailler avec des bases autres que la base 10 ?
3. Comment calculer des puissances de 3 rapidement ?
4. Qu'est-ce qu'une base numérique et quelles sont les bases les plus couramment utilisées ?
5. Comment passer de la base 3 à d'autres bases, comme la base 2 ou 8 ?

Tip : Pour convertir un nombre en base $b$ dans un système décimal, multipliez chaque chiffre par $b$ élevé à la puissance correspondante.