برای محاسبه لاپلاس $f(t) = \sin^3(t)$، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

1. نوشتن $\sin^3(t)$ به صورت ساده‌تر

از هویت مثلثاتی استفاده می‌کنیم: $\sin^3(t) = \sin(t) \cdot \sin^2(t).$ و با استفاده از $\sin^2(t) = 1 - \cos^2(t)$: $\sin^3(t) = \sin(t) \cdot (1 - \cos^2(t)).$ پس: $\sin^3(t) = \sin(t) - \sin(t) \cos^2(t).$

2. شکستن به دو جزء قابل محاسبه

بنابراین: $\mathcal{L}\{\sin^3(t)\} = \mathcal{L}\{\sin(t)\} - \mathcal{L}\{\sin(t) \cos^2(t)\}.$

3. محاسبه $\mathcal{L}\{\sin(t)\}$

از جدول تبدیل لاپلاس می‌دانیم: $\mathcal{L}\{\sin(t)\} = \frac{1}{s^2 + 1}.$

4. استفاده از هویت برای $\sin(t) \cos^2(t)$

از $\cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$ استفاده می‌کنیم: $\sin(t) \cos^2(t) = \sin(t) \cdot \frac{1 + \cos(2t)}{2} = \frac{\sin(t)}{2} + \frac{\sin(t) \cos(2t)}{2}.$

بنابراین: $\mathcal{L}\{\sin(t) \cos^2(t)\} = \frac{1}{2} \mathcal{L}\{\sin(t)\} + \frac{1}{2} \mathcal{L}\{\sin(t) \cos(2t)\}.$

5. محاسبه هر ترم باقی‌مانده

• از قبل داریم: $\mathcal{L}\{\sin(t)\} = \frac{1}{s^2 + 1}.$
• برای $\sin(t) \cos(2t)$، از حاصل‌ضرب و هویت $\sin(a)\cos(b) = \frac{\sin(a+b) + \sin(a-b)}{2}$ استفاده می‌کنیم: $\sin(t)\cos(2t) = \frac{\sin(3t) + \sin(-t)}{2}.$ پس: $\mathcal{L}\{\sin(t)\cos(2t)\} = \frac{1}{2} \mathcal{L}\{\sin(3t)\} + \frac{1}{2} \mathcal{L}\{\sin(-t)\}.$ و از جدول لاپلاس: $\mathcal{L}\{\sin(3t)\} = \frac{3}{s^2 + 9}, \quad \mathcal{L}\{\sin(-t)\} = -\frac{1}{s^2 + 1}.$

6. ترکیب نهایی

حالا ترکیب همه موارد: $\mathcal{L}\{\sin^3(t)\} = \frac{1}{s^2 + 1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2 + 1} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{s^2 + 9} - \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{s^2 + 1}\right).$

ساده‌سازی کنیم: $\mathcal{L}\{\sin^3(t)\} = \frac{1}{s^2 + 1} - \frac{1}{2(s^2 + 1)} + \frac{1}{4(s^2 + 1)} - \frac{3}{4(s^2 + 9)}.$

پاسخ نهایی: $\mathcal{L}\{\sin^3(t)\} = \frac{3}{4(s^2 + 1)} - \frac{3}{4(s^2 + 9)}.$

اگر سؤال یا توضیح بیشتری خواستید، بپرسید! 😊

سؤالات مرتبط:

1. چگونه می‌توانیم از تبدیل لاپلاس برای حل معادلات دیفرانسیل استفاده کنیم؟
2. چرا هویت‌های مثلثاتی در محاسبات لاپلاس مفید هستند؟
3. چگونه تبدیل لاپلاس تابع‌های ضربی مانند $\sin(t)\cos(t)$ را محاسبه کنیم؟
4. روش‌های جدول‌مند لاپلاس چگونه سرعت حل مسائل را افزایش می‌دهند؟
5. چرا $\sin^3(t)$ به ترم‌های ساده‌تر تجزیه می‌شود؟

نکته:

تبدیل لاپلاس یکی از قوی‌ترین ابزارها برای حل مسائل مهندسی است، مخصوصاً وقتی شرایط اولیه مشخص باشد.