He revisado cuidadosamente las soluciones escritas en la imagen, y noto que ambos desarrollos (en negro y en verde) parecen tratar el mismo problema de dos maneras diferentes, sin embargo, conducen a diferentes conclusiones. Voy a desglosar posibles fuentes de discrepancia:

Desarrollo en Negro:

1. Planteamiento Original: Se parte de la ecuación diferencial $\ddot{z} + K\dot{z} + a z = 0$, que parece representar un sistema de segundo orden. Al introducir condiciones iniciales, se procede a aplicar una transformada de Laplace, lo cual está correcto hasta este punto.
2. Transformada de Laplace:
   • La ecuación diferencial transformada en el dominio de $s$ da lugar a $(s^2 + Ks + a)\mathcal{Z}(s) = b/s$, donde $\mathcal{Z}(s)$ es la transformada de Laplace de $z(t)$. La ecuación parece correctamente planteada.
3. Resolución en el Dominio Complejo:
   • Se identifica un par de polos en $s_1$ y $s_2$ mediante la fórmula cuadrática, lo cual también está bien. Luego, se aplica un procedimiento de integración en el contorno en el plano complejo usando la integral de contorno de la transformada inversa de Laplace.
   • Finalmente, se llega a un resultado usando residuos, lo cual parece algebraicamente correcto.

Desarrollo en Verde:

1. Transformada de Laplace Similar:
   • El desarrollo en verde sigue pasos similares, pero hay un pequeño cambio en los términos algebraicos hacia el final. Especialmente, parece haber una manipulación de términos en el denominador que involucra una expansión diferente de los polos $K - \omega$ y $K + \omega$.
   • En la segunda parte, al despejar, parece haber un error en los signos o una cancelación incorrecta al tratar el término de $\alpha / s$. Este punto es clave para llegar a la solución correcta.

Posible Fuente del Error:

• Diferencia en la Resolución del Dominador: En la parte verde, se ve que hay una diferencia en cómo se factoriza el denominador para llegar a la solución. Este es un aspecto crucial, ya que la correcta factorización y manipulación de los términos afecta el cálculo final de los residuos. Pareciera que al expandir los polos en el desarrollo verde, hay un paso donde la cancelación de $\omega_0$ no se realiza correctamente, generando así un desajuste en las soluciones finales.

Te sugiero revisar con detalle los pasos donde se manejan los términos en $s$ y $s_1, s_2$, ya que en la verde hay signos que no coinciden con los que deberían surgir del desarrollo del denominador.

Preguntas Relacionadas:

1. ¿Podrías revisar si los signos de los polos $s_1$ y $s_2$ están correctamente aplicados en ambas partes?
2. ¿Es posible que el error provenga de una manipulación incorrecta en el método de residuos del desarrollo verde?
3. ¿Consideraste revisar el factor común de los términos $K + \omega$ y $K - \omega$ entre los dos métodos?
4. ¿El valor de $b$ afecta de manera distinta a la ecuación en las dos soluciones?
5. ¿Hay algún paso intermedio donde el método verde no aplique la condición inicial correctamente?

Tip:

Para asegurarte de que ambas soluciones lleguen al mismo resultado, trata de comparar paso a paso las manipulaciones algebraicas entre los dos métodos, especialmente en los denominadores.

¿Te gustaría explorar algún paso en más detalle?