https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1725771248022sli5h0cq.jpg

resuelve esta pregunta como si fueras un experto en matemáticas, especialmente en laplace

La función que se nos da es:

\[
f(t) = (\sin t + \cos t)^2
\]

Queremos encontrar su transformada de Laplace. Primero, debemos simplificar la función \( f(t) \) antes de aplicar la transformada de Laplace.

### Paso 1: Expansión del cuadrado

Expandiendo \( (\sin t + \cos t)^2 \):

\[
f(t) = (\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t
\]

Usando la identidad trigonométrica \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \), obtenemos:

\[
f(t) = 1 + 2 \sin t \cos t
\]

Además, podemos usar la identidad trigonométrica:

\[
2 \sin t \cos t = \sin(2t)
\]

Por lo tanto, tenemos que:

\[
f(t) = 1 + \sin(2t)
\]

### Paso 2: Aplicar la Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de \( f(t) = 1 + \sin(2t) \) es la suma de las transformadas de Laplace de \( 1 \) y \( \sin(2t) \):

1. La transformada de Laplace de 1 es:

\[
\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}
\]

2. La transformada de Laplace de \( \sin(2t) \) es:

\[
\mathcal{L}\{\sin(2t)\} = \frac{2}{s^2 + 4}
\]

### Paso 3: Sumar las transformadas

Sumando ambas transformadas, obtenemos:

\[
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s} + \frac{2}{s^2 + 4}
\]

### Paso 4: Comparar con las opciones

Ahora, vamos a comparar esta expresión con las opciones dadas en la imagen:

- La opción **d)** es la correcta:

\[
\frac{s^2 + 2s + 4}{s(s^2 + 4)}
\]

### Respuesta Final

La opción correcta es la **d)**.

---

¿Te gustaría más detalles sobre cómo se resolvió? Aquí tienes algunas preguntas adicionales para profundizar:

1. ¿Cómo se aplican las propiedades de la transformada de Laplace a funciones trigonométricas?
2. ¿Por qué la función \( (\sin t + \cos t)^2 \) se simplifica a \( 1 + \sin(2t) \)?
3. ¿Qué otras identidades trigonométricas pueden usarse en transformadas de Laplace?
4. ¿Cómo afecta la frecuencia angular \( 2t \) a la transformada de \( \sin(2t) \)?
5. ¿Qué técnicas se utilizan cuando se suman dos transformadas de Laplace?

**Tip:** La transformada de Laplace es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, ya que convierte problemas de tiempo en problemas de álgebra en el dominio de \( s \).

Elegir la opción que contiene la transformada de Laplace de la siguiente función: f(t) = (sen t + cos t)^2

This problem covers how to find the Laplace Transform of the function f(t) = (sen t + cos t)^2 by applying algebraic expansion and using key trigonometric identities. Suitable for undergraduate-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation