Untuk menghitung nilai Transformasi Laplace dari $f(t) = t e^{at}$, kita akan menggunakan definisi Transformasi Laplace serta beberapa sifat dasar dari transformasi tersebut.

1. Definisi Transformasi Laplace: $\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$

2. Masukkan Fungsi $f(t) = t e^{at}$ ke dalam Definisi: $\mathcal{L}\{t e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-st} \cdot t e^{at} \, dt$

3. Gabungkan Eksponen: Kita bisa menggabungkan $e^{-st}$ dan $e^{at}$ menjadi $e^{-(s - a)t}$: $\mathcal{L}\{t e^{at}\} = \int_0^{\infty} t e^{-(s - a)t} \, dt$

4. Gunakan Sifat Transformasi Laplace dari $t f(t)$: Dalam kasus ini, kita bisa menggunakan sifat bahwa: $\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds} \mathcal{L}\{f(t)\}$ di mana $f(t) = e^{at}$, yang memiliki Transformasi Laplace: $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a}$

5. Turunkan Hasil Transformasi Laplace dari $e^{at}$: $\mathcal{L}\{t e^{at}\} = -\frac{d}{ds} \left( \frac{1}{s - a} \right)$ Dengan melakukan turunan terhadap $s$: $-\frac{d}{ds} \left( \frac{1}{s - a} \right) = -\left(-\frac{1}{(s - a)^2}\right) = \frac{1}{(s - a)^2}$

6. Hasil Akhir: $\mathcal{L}\{t e^{at}\} = \frac{1}{(s - a)^2}$

Jadi, Transformasi Laplace dari $f(t) = t e^{at}$ adalah: $\mathcal{L}\{t e^{at}\} = \frac{1}{(s - a)^2}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut, atau memiliki pertanyaan mengenai langkah-langkah ini?

Pertanyaan Terkait

1. Bagaimana cara menemukan Transformasi Laplace untuk fungsi $f(t) = t^2 e^{at}$?
2. Apa hubungan antara Transformasi Laplace dan derivatif pada domain waktu?
3. Bagaimana jika fungsi $f(t) = \sin(at)$, bagaimana menghitung Transformasi Laplace-nya?
4. Bagaimana Transformasi Laplace dapat membantu dalam pemecahan persamaan diferensial?
5. Apa sifat-sifat penting dari Transformasi Laplace yang digunakan dalam teknik kontrol?

Tip

Salah satu cara praktis untuk menghitung Transformasi Laplace dari $t^n e^{at}$ adalah dengan menggunakan sifat umum $\mathcal{L}\{t^n e^{at}\} = \frac{n!}{(s - a)^{n+1}}$.