Nous allons résoudre ce problème étape par étape.

1. Équations horaires de la position de la voiture et du motard

a) Position de la voiture

La voiture roule à une vitesse constante $v_0$, donc son déplacement est linéaire. L'équation horaire de sa position $x_{\text{v}}(t)$ à l'instant $t$ est donnée par :

$x_{\text{v}}(t) = v_0 t$

avec $x_{\text{v}}(0) = 0$ (la position initiale de la voiture est à $0$, par exemple à l'instant $t = 0$).

b) Position du motard

Le motard commence à partir du repos (c'est-à-dire $v_m(0) = 0$) au bout d'un temps $\tau$ après le passage de la voiture. Il a une accélération constante $a_0$. La position du motard $x_{\text{m}}(t)$ peut être obtenue à partir de l'équation du mouvement uniformément accéléré. Mais, puisque le motard commence à $t = \tau$, nous devons écrire l'équation en tenant compte de ce retard.

L'accélération constante implique que la vitesse du motard à l'instant $t$ est :

$v_m(t) = a_0 (t - \tau) \quad \text{pour} \quad t \geq \tau$

Et la position du motard est alors donnée par l'intégration de la vitesse :

$x_{\text{m}}(t) = \frac{1}{2} a_0 (t - \tau)^2 \quad \text{pour} \quad t \geq \tau$

On suppose que $x_{\text{m}}(\tau) = 0$, c'est-à-dire que le motard commence à une position $0$ à l'instant $\tau$.

2. Distance parcourue par le motard lorsqu'il rattrape la voiture

Pour savoir à quel instant le motard rattrape la voiture, nous devons égaler leurs positions, c'est-à-dire résoudre l'équation :

$x_{\text{v}}(t) = x_{\text{m}}(t)$

Cela revient à résoudre l'équation suivante :

$v_0 t = \frac{1}{2} a_0 (t - \tau)^2$

Développons et simplifions cette équation :

$v_0 t = \frac{1}{2} a_0 (t^2 - 2 \tau t + \tau^2)$

$2 v_0 t = a_0 (t^2 - 2 \tau t + \tau^2)$

$0 = a_0 t^2 - 2 a_0 \tau t + a_0 \tau^2 - 2 v_0 t$

$0 = a_0 t^2 - (2 a_0 \tau + 2 v_0) t + a_0 \tau^2$

Cette équation est une équation du second degré en $t$, que nous résolvons avec la formule quadratique :

$t = \frac{-( - 2 a_0 \tau - 2 v_0) \pm \sqrt{(- 2 a_0 \tau - 2 v_0)^2 - 4 \cdot a_0 \cdot a_0 \tau^2}}{2 a_0}$

Une fois que nous avons l'instant $t$ auquel le motard rattrape la voiture, on peut calculer la distance parcourue par le motard en calculant $x_{\text{m}}(t)$ à cet instant.

3. Vitesse du motard au moment où il dépasse la voiture

La vitesse du motard à l'instant $t$ où il rattrape la voiture est simplement la dérivée de sa position par rapport au temps. Donc, la vitesse est donnée par :

$v_m(t) = a_0 (t - \tau)$

En remplaçant $t$ par l'instant où il rattrape la voiture, on obtient la vitesse du motard au moment où il dépasse la voiture.

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Résumé et étapes à suivre :

1. Équation horaire de la voiture : $x_{\text{v}}(t) = v_0 t$
2. Équation horaire du motard : $x_{\text{m}}(t) = \frac{1}{2} a_0 (t - \tau)^2$ pour $t \geq \tau$
3. Résolution de $v_0 t = \frac{1}{2} a_0 (t - \tau)^2$ pour déterminer le temps où le motard rattrape la voiture.
4. Calcul de la distance parcourue par le motard et de sa vitesse lorsqu'il rattrape la voiture.

Souhaitez-vous que je détaille davantage l'une de ces étapes, ou que je résolve l'équation quadratique pour vous ?