Math Problem Statement
از آماره ترتیبی حل کن
Solution
این سوال در رابطه با متغیرهای تصادفی و تابع چگالی احتمال مشترک است که با استفاده از آماره ترتیبی قابل تحلیل میباشد. برای حل، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
شرح مسئله:
- : یک نقطه تصادفی در بازه
- : یک نقطه تصادفی در بازه
- : یک نقطه تصادفی در بازه
- ...
- : یک نقطه تصادفی در بازه
هدف، پیدا کردن تابع چگالی احتمال مشترک برای این متغیرها است.
راهحل:
این متغیرها به صورت نزولی انتخاب میشوند و بنابراین به آماره ترتیبی مربوط هستند. تابع چگالی احتمال مشترک میتواند بر اساس محاسبه توزیع احتمال بهدست آید.
1. احتمال مستقل هر متغیر
از آنجا که هر به وابسته است، مینویسیم:
بنابراین چگالی هر برابر است با:
\begin{cases} \frac{1}{x_{i-1}}, & 0 \leq x_i \leq x_{i-1}, \\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$ #### 2. تابع چگالی احتمال مشترک تابع چگالی احتمال مشترک برابر است با: $$f_{X_1, X_2, \ldots, X_n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f_{X_1}(x_1) \cdot f_{X_2 | X_1}(x_2 | x_1) \cdot f_{X_3 | X_2}(x_3 | x_2) \cdots f_{X_n | X_{n-1}}(x_n | x_{n-1}).$$ از آنجا که $$X_1 \sim \text{Uniform}(0, 1)$$، داریم: $$f_{X_1}(x_1) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x_1 \leq 1, \\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$ بنابراین: $$f_{X_1, X_2, \ldots, X_n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{cases} \frac{1}{x_1 x_2 \cdots x_{n-1}}, & 0 \leq x_n \leq x_{n-1} \leq \cdots \leq x_1 \leq 1, \\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$ #### 3. شرط محدودیتها شرط اصلی این است که: $$0 \leq x_n \leq x_{n-1} \leq \cdots \leq x_1 \leq 1.$$ --- ### نتیجه نهایی: تابع چگالی احتمال مشترک برای $$X_1, X_2, \ldots, X_n$$ به صورت زیر است: $$f_{X_1, X_2, \ldots, X_n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{cases} \frac{1}{x_1 x_2 \cdots x_{n-1}}, & 0 \leq x_n \leq x_{n-1} \leq \cdots \leq x_1 \leq 1, \\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$ --- ### سوالات پیشنهادی: 1. آیا وابستگی متغیرهای تصادفی بر اساس این توزیع کاملاً مشخص است؟ 2. چه تفاوتی میان این مسئله و توزیع آماره ترتیبی معمولی وجود دارد؟ 3. چگونه میتوان این تابع را برای محاسبه امید ریاضی استفاده کرد؟ 4. اگر محدودیت $$(0,1)$$ به $$(a,b)$$ تغییر کند، چه اتفاقی برای چگالی میافتد؟ 5. آیا توزیع حاصل برای شبیهسازی تصادفی مناسب است؟ --- ### نکته: همواره محدودیتهای بازه را هنگام محاسبه انتگرالها بررسی کنید تا احتمالها درست محاسبه شوند.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Random Variables
Joint Probability Density Function
Uniform Distribution
Order Statistics
Formulas
f_{X_i | X_{i-1}}(x_i | x_{i-1}) = 1 / x_{i-1} for 0 <= x_i <= x_{i-1}
f_{X_1, X_2, ..., X_n}(x_1, x_2, ..., x_n) = 1 / (x_1 * x_2 * ... * x_{n-1}) under the constraint 0 <= x_n <= x_{n-1} <= ... <= x_1 <= 1
Theorems
Properties of Uniform Distribution
Joint PDF Construction for Dependent Random Variables
Suitable Grade Level
Undergraduate (Probability and Statistics)
Related Recommendation
Calculating Expected Values, Covariance, and Independence of Random Variables
Verification and Calculation of Joint Density Function Probabilities
Solving Problems with Joint Probability Distributions (X, Y)
Calculate Joint Density Function fXY(x,y) for Uniform Distribution
Solving Probability Theory Problems: CDF, Expected Value, and Markov's Inequality