Math Problem Statement

از آماره ترتیبی حل کن

فرض کنید X1 یک نقطه تصادفی از بازه (0,1)، X2 یک نقطه تصادفی از بازه (0,X1)، X3 یک نقطه تصادفی از بازه (0,X2)، ...، و Xn یک نقطه تصادفی از بازه (0,Xn-1) باشند. تابع چگالی احتمال توام X1,X2,...,Xn را پیدا کنید.

Solution

این سوال در رابطه با متغیرهای تصادفی و تابع چگالی احتمال مشترک X1,X2,,XnX_1, X_2, \ldots, X_n است که با استفاده از آماره ترتیبی قابل تحلیل می‌باشد. برای حل، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:


شرح مسئله:

  • X1X_1: یک نقطه تصادفی در بازه (0,1)(0, 1)
  • X2X_2: یک نقطه تصادفی در بازه (0,X1)(0, X_1)
  • X3X_3: یک نقطه تصادفی در بازه (0,X2)(0, X_2)
  • ...
  • XnX_n: یک نقطه تصادفی در بازه (0,Xn1)(0, X_{n-1})

هدف، پیدا کردن تابع چگالی احتمال مشترک برای این متغیرها است.


راه‌حل:

این متغیرها به صورت نزولی انتخاب می‌شوند و بنابراین به آماره ترتیبی مربوط هستند. تابع چگالی احتمال مشترک می‌تواند بر اساس محاسبه توزیع احتمال fX1,X2,,Xn(x1,x2,,xn)f_{X_1, X_2, \ldots, X_n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) به‌دست آید.

1. احتمال مستقل هر متغیر

از آنجا که هر XiX_i به Xi1X_{i-1} وابسته است، می‌نویسیم: XiUniform(0,Xi1).X_i \sim \text{Uniform}(0, X_{i-1}).

بنابراین چگالی هر XiX_i برابر است با:

\begin{cases} \frac{1}{x_{i-1}}, & 0 \leq x_i \leq x_{i-1}, \\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$ #### 2. تابع چگالی احتمال مشترک تابع چگالی احتمال مشترک برابر است با: $$f_{X_1, X_2, \ldots, X_n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f_{X_1}(x_1) \cdot f_{X_2 | X_1}(x_2 | x_1) \cdot f_{X_3 | X_2}(x_3 | x_2) \cdots f_{X_n | X_{n-1}}(x_n | x_{n-1}).$$ از آنجا که $$X_1 \sim \text{Uniform}(0, 1)$$، داریم: $$f_{X_1}(x_1) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x_1 \leq 1, \\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$ بنابراین: $$f_{X_1, X_2, \ldots, X_n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{cases} \frac{1}{x_1 x_2 \cdots x_{n-1}}, & 0 \leq x_n \leq x_{n-1} \leq \cdots \leq x_1 \leq 1, \\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$ #### 3. شرط محدودیت‌ها شرط اصلی این است که: $$0 \leq x_n \leq x_{n-1} \leq \cdots \leq x_1 \leq 1.$$ --- ### نتیجه نهایی: تابع چگالی احتمال مشترک برای $$X_1, X_2, \ldots, X_n$$ به صورت زیر است: $$f_{X_1, X_2, \ldots, X_n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \begin{cases} \frac{1}{x_1 x_2 \cdots x_{n-1}}, & 0 \leq x_n \leq x_{n-1} \leq \cdots \leq x_1 \leq 1, \\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$ --- ### سوالات پیشنهادی: 1. آیا وابستگی متغیرهای تصادفی بر اساس این توزیع کاملاً مشخص است؟ 2. چه تفاوتی میان این مسئله و توزیع آماره ترتیبی معمولی وجود دارد؟ 3. چگونه می‌توان این تابع را برای محاسبه امید ریاضی استفاده کرد؟ 4. اگر محدودیت $$(0,1)$$ به $$(a,b)$$ تغییر کند، چه اتفاقی برای چگالی می‌افتد؟ 5. آیا توزیع حاصل برای شبیه‌سازی تصادفی مناسب است؟ --- ### نکته: همواره محدودیت‌های بازه را هنگام محاسبه انتگرال‌ها بررسی کنید تا احتمال‌ها درست محاسبه شوند.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Random Variables
Joint Probability Density Function
Uniform Distribution
Order Statistics

Formulas

f_{X_i | X_{i-1}}(x_i | x_{i-1}) = 1 / x_{i-1} for 0 <= x_i <= x_{i-1}
f_{X_1, X_2, ..., X_n}(x_1, x_2, ..., x_n) = 1 / (x_1 * x_2 * ... * x_{n-1}) under the constraint 0 <= x_n <= x_{n-1} <= ... <= x_1 <= 1

Theorems

Properties of Uniform Distribution
Joint PDF Construction for Dependent Random Variables

Suitable Grade Level

Undergraduate (Probability and Statistics)