Langkah 1: Identifikasi Dukungan dari Kepadatan Gabungan

Kepadatan gabungan bernilai bukan nol untuk pasangan berikut:

${(-2, 0), (-1, 0), (1, 0), (2, 0), (0, -2), (0, -1), (0, 1), (0, 2)}$

Langkah 2: Hitung Nilai Harapan (E[X]) dan (E[Y])

Diberikan probabilitas uniform sebesar $\frac{1}{8}$ untuk setiap titik, kita dapat menghitung nilai harapan sebagai berikut.

Untuk (E[X]):

$E[X] = \sum_{(x,y)} x \cdot f(x,y) = (-2) \cdot \frac{1}{8} + (-1) \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{8} + 0 \cdot \frac{1}{8} + 0 \cdot \frac{1}{8} + 0 \cdot \frac{1}{8} + 0 \cdot \frac{1}{8}$

Menghitung ini menghasilkan:

$E[X] = \frac{-2 - 1 + 1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0}{8} = \frac{0}{8} = 0$

Untuk (E[Y]):

$E[Y] = \sum_{(x,y)} y \cdot f(x,y) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 0 \cdot \frac{1}{8} + (-1) \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{1}{8} + (-2) \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{8}$

Menghitung ini menghasilkan:

$E[Y] = \frac{0 - 1 + 1 - 2 + 2}{8} = \frac{0}{8} = 0$

Langkah 3: Hitung (E[XY])

Selanjutnya, kita menghitung:

$E[XY] = \sum_{(x,y)} x \cdot y \cdot f(x,y) = (-2)(0) \cdot \frac{1}{8} + (-1)(0) \cdot \frac{1}{8} + (1)(0) \cdot \frac{1}{8} + (2)(0) \cdot \frac{1}{8} + (0)(-2) \cdot \frac{1}{8} + (0)(-1) \cdot \frac{1}{8} + (0)(1) \cdot \frac{1}{8} + (0)(2) \cdot \frac{1}{8}$

Karena semua hasil perkalian melibatkan nol, maka:

$E[XY] = 0$

Langkah 4: Hitung Kovarians ($\text{Cov}(X, Y)$)

Menggunakan rumus kovarians:

[ \text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] ]

Memasukkan nilai yang telah kita temukan:

$\text{Cov}(X, Y) = 0 - 0 \cdot 0 = 0$

Langkah 5: Periksa Kemandirian

Dua variabel acak $X$ dan $Y$ independen jika fungsi kepadatan probabilitas gabungan dapat difaktorkan menjadi hasil kali dari kepadatan marginal:

$f(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$

Menghitung kepadatan marginal:

Marginal dari (X):

$f_X(x) = \sum_{y} f(x, y) = f(x, 0) + f(x, 2) + f(x, -2) + f(x, 1) + f(x, -1)$

Karena $f(x, 0)$ bukan nol untuk $x = -2, -1, 1, 2$, kita memiliki:

Untuk $x = -2, -1, 1, 2$:

$f_X(-2) = f(-2, 0) = \frac{1}{8}, \quad f_X(-1) = f(-1, 0) = \frac{1}{8}, \quad f_X(1) = f(1, 0) = \frac{1}{8}, \quad f_X(2) = f(2, 0) = \frac{1}{8}$

Jadi, kepadatan marginal $f_X(x)$ adalah uniform pada nilai-nilai ini.

Marginal dari (Y):

$f_Y(y) = \sum_{x} f(x, y) = f(0, y) + f(2, y) + f(-2, y) + f(1, y) + f(-1, y)$

Sekali lagi, karena $f(0, y)$ bukan nol untuk $y = -2, -1, 1, 2$, kita dapat menyimpulkan bahwa hasil marginal tidak akan independen karena hasil dari $X$ dan $Y$ bergantung pada nilai yang telah ditentukan.

Kesimpulan

Kovarians dari $X$ dan $Y$ adalah $\text{Cov}(X, Y) = 0$.

$X$ dan $Y$ tidak independen.

Apakah Anda ingin rincian tambahan atau ada pertanyaan?

Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan dukungan untuk kepadatan gabungan lainnya?
2. Mengapa nilai harapan bisa nol dalam kasus tertentu?
3. Apa artinya jika kovarians bernilai nol?
4. Bagaimana kita menentukan kemandirian dalam variabel acak lainnya?
5. Bagaimana cara menghitung kepadatan marginal untuk variabel lain?

Tip: Ketika kovarians antara dua variabel acak nol, mereka tidak selalu independen, terutama dalam distribusi diskrit atau non-normal.