Math Problem Statement
Fait l exercise 1 etapes par etape soit prudan et correct utilise Les fraction et ne saute rien
Solution
Étape 1 : Analyser l'exercice
L'exercice traite d'une méthode itérative pour résoudre le système linéaire donné :
10x_1 - 2x_2 &= 8, \\ -6x_1 + 11x_2 - 5x_3 &= 0, \\ -7x_2 + 9x_3 &= 2. \end{aligned}$$ Il comporte plusieurs parties. Nous allons les aborder **étape par étape**. --- #### Partie 1 : Écrire le processus itératif associé à la décomposition $$A = A_1 - A_2$$ Le système $$AX = B$$ peut être écrit comme $$A_1X = A_2X + B$$, ce qui donne l’itération suivante pour $$x^{(k+1)}$$ : $$x^{(k+1)} = A_1^{-1}(A_2x^{(k)} + B).$$ La matrice $$A$$ est donnée comme suit : $$A = \begin{pmatrix} 10 & -2 & 0 \\ -6 & 11 & -5 \\ 0 & -7 & 9 \end{pmatrix}.$$ La décomposition $$A = A_1 - A_2$$ implique : - $$A_1$$ est une matrice diagonale contenant les éléments diagonaux de $$A$$, - $$A_2 = A - A_1$$, la matrice contenant les termes hors diagonale. Ainsi : $$A_1 = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -6 & 0 & -5 \\ 0 & -7 & 0 \end{pmatrix}.$$ Pour $$A_1^{-1}$$, on inverse les termes diagonaux de $$A_1$$ : $$A_1^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{9} \end{pmatrix}.$$ Le processus devient donc : $$x^{(k+1)} = A_1^{-1}(A_2x^{(k)} + B),$$ où $$B = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$. Développement explicite : $$x_1^{(k+1)} = \frac{1}{10}(2x_2^{(k)} + 8),$$ $$x_2^{(k+1)} = \frac{1}{11}(6x_1^{(k)} + 5x_3^{(k)}),$$ $$x_3^{(k+1)} = \frac{1}{9}(7x_2^{(k)} + 2).$$ --- #### Partie 2 : Calculer $$x^{(2)}$$ à partir de $$x^{(0)} = 0$$ 1. Initialisation : $$x^{(0)} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ 2. Calcul de $$x^{(1)}$$ en utilisant les formules ci-dessus : $$x_1^{(1)} = \frac{1}{10}(2 \cdot 0 + 8) = 0.8,$$ $$x_2^{(1)} = \frac{1}{11}(6 \cdot 0 + 5 \cdot 0) = 0,$$ $$x_3^{(1)} = \frac{1}{9}(7 \cdot 0 + 2) = \frac{2}{9}.$$ Donc : $$x^{(1)} = \begin{pmatrix} 0.8 \\ 0 \\ \frac{2}{9} \end{pmatrix}.$$ 3. Calcul de $$x^{(2)}$$ : $$x_1^{(2)} = \frac{1}{10}(2 \cdot 0 + 8) = 0.8,$$ $$x_2^{(2)} = \frac{1}{11}(6 \cdot 0.8 + 5 \cdot \frac{2}{9}) = \frac{1}{11}(4.8 + \frac{10}{9}) = \frac{1}{11}(\frac{43.2}{9}) \approx 0.438.$$ $$x_3^{(2)} = \frac{1}{9}(7 \cdot 0.438 + 2) = \frac{1}{9}(3.066 + 2) = \frac{1}{9}(5.066) \approx 0.563.$$ Donc : $$x^{(2)} \approx \begin{pmatrix} 0.8 \\ 0.438 \\ 0.563 \end{pmatrix}.$$ --- #### Partie 3 : Étudier la convergence Pour que le processus itératif converge, la matrice d'itération $$T = A_1^{-1}A_2$$ doit satisfaire $$\rho(T) < 1$$, où $$\rho(T)$$ est le rayon spectral (valeur propre maximale en module). 1. Calcul de $$T = A_1^{-1}A_2$$ : $$T = \begin{pmatrix} \frac{1}{10} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{9} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -6 & 0 & -5 \\ 0 & -7 & 0 \end{pmatrix}.$$ Multiplication : $$T = \begin{pmatrix} 0 & -0.2 & 0 \\ -\frac{6}{11} & 0 & -\frac{5}{11} \\ 0 & -\frac{7}{9} & 0 \end{pmatrix}.$$ 2. Vérification de $$\rho(T)$$ : Les valeurs propres de $$T$$ doivent être calculées. Si le rayon spectral $$\rho(T) < 1$$, le processus converge. Cela peut être fait numériquement ou analytiquement selon le besoin. --- #### Partie 4 : Méthode de Jacobi et Gauss-Seidel Voulez-vous que je développe les étapes pour Jacobi et Gauss-Seidel ?Ask a new question for Free
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Numerical Methods
Iterative Methods
Linear Systems
Jacobi Method
Gauss-Seidel Method
Formulas
Iterative formula for Jacobi method: x^(k+1) = A_1^(-1)(A_2 * x^(k) + B)
Iterative formula for Gauss-Seidel method
Theorems
Convergence of iterative methods
Suitable Grade Level
University level (Advanced numerical analysis or engineering course)
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