解答

累次積分の計算を行います。

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(a)

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (x - y)^2 \, dx \, dy$

1. 内側の積分（xに関する積分）
   $\int_{0}^{2} (x - y)^2 \, dx$
   展開すると、
   $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
   よって、
   $\int_{0}^{2} (x^2 - 2xy + y^2) \, dx = \int_{0}^{2} x^2 \, dx - 2y \int_{0}^{2} x \, dx + y^2 \int_{0}^{2} 1 \, dx$

個別に計算すると：

• $\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}$
• $\int_{0}^{2} x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = 2$
• $\int_{0}^{2} 1 \, dx = [x]_{0}^{2} = 2$

これを組み合わせると：
$\int_{0}^{2} (x - y)^2 \, dx = \frac{8}{3} - 2y(2) + y^2(2) = \frac{8}{3} - 4y + 2y^2$

2. 外側の積分（yに関する積分）
   次に、 $\int_{0}^{1} \left( \frac{8}{3} - 4y + 2y^2 \right) \, dy$ を計算します。個別に積分すると：

• $\int_{0}^{1} \frac{8}{3} \, dy = \frac{8}{3} y \Big|_{0}^{1} = \frac{8}{3}$
• $\int_{0}^{1} -4y \, dy = -2y^2 \Big|_{0}^{1} = -2$
• $\int_{0}^{1} 2y^2 \, dy = \frac{2y^3}{3} \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3}$

これらを足し合わせると：
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (x - y)^2 \, dx \, dy = \frac{8}{3} - 2 + \frac{2}{3} = 2$

答え：(a) $2$

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(b)

$\int_{0}^{2} \int_{y}^{1} \frac{2}{(1 + x^2)^2} \, dx \, dy$

1. 内側の積分（xに関する積分）
   $\int_{y}^{1} \frac{2}{(1 + x^2)^2} \, dx$

$\frac{1}{(1+x^2)^2}$ の不定積分は、特殊な形で以下の結果が知られています： $\int \frac{1}{(1 + x^2)^2} \, dx = \frac{x}{2(1+x^2)} + C$

よって、 $\int_{y}^{1} \frac{2}{(1 + x^2)^2} \, dx = \left[\frac{x}{1+x^2}\right]_{y}^{1}$

これを計算すると： $\frac{1}{1+1} - \frac{y}{1+y^2} = \frac{1}{2} - \frac{y}{1+y^2}$

2. 外側の積分（yに関する積分）
   次に、 $\int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{y}{1+y^2} \right) \, dy$ を計算します。個別に計算すると：

• $\int_{0}^{2} \frac{1}{2} \, dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} 1 \, dy = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$
• $\int_{0}^{2} \frac{y}{1+y^2} \, dy$ は置換積分を使います。置換 $u = 1 + y^2$, $du = 2y \, dy$ とすると：
  範囲：$y = 0 \to u = 1, \, y = 2 \to u = 5$
  よって：
  $\int_{0}^{2} \frac{y}{1+y^2} \, dy = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln u \Big|_{1}^{5}$ $= \frac{1}{2} (\ln 5 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 5$

これらを組み合わせると：
$\int_{0}^{2} \int_{y}^{1} \frac{2}{(1 + x^2)^2} \, dx \, dy = 1 - \frac{1}{2} \ln 5$

答え：(b) $1 - \frac{1}{2} \ln 5$

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まとめ：
(a) $2$
(b) $1 - \frac{1}{2} \ln 5$

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質問に対する理解を深めるための関連問題：

1. 累次積分と反復積分の違いを説明できますか？
2. 不定積分における特別な形（例：$(1+x^2)^n$）の計算方法を理解していますか？
3. 累次積分の順序を入れ替える方法を知っていますか？
4. 面積や体積計算における累次積分の実用例を挙げられますか？
5. 置換積分の他の応用例を説明できますか？

Tip: 累次積分では積分範囲をしっかり確認し、変数の依存関係に注意を払うことが重要です。