Для решения задачи о треугольнике $ABC$, в котором $\angle A = 46^\circ$, $\angle B = 55^\circ$, а точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника, нам нужно использовать геометрические свойства изогональной сопряженности и углов.

Шаг 1: Вспомним определение изогональной сопряженности

Две точки $P$ и $Q$ называются изогонально сопряженными относительно треугольника $ABC$, если для каждой из точек $P$ и $Q$ выполняются следующие два условия:

• Угол $\angle APB = \angle AQC$,
• Угол $\angle BPC = \angle BQA$.

Таким образом, точки $P$ и $Q$ обладают симметричными углами относительно углов треугольника.

Шаг 2: Углы треугольника

Зная, что $\angle A = 46^\circ$ и $\angle B = 55^\circ$, мы можем найти угол $\angle C$ в треугольнике: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 46^\circ - 55^\circ = 79^\circ.$

Шаг 3: Используем условие, что точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены

Задано, что угол $\angle APB = 120^\circ$. Это важная информация, так как она связана с углами, образуемыми изогонально сопряженными точками. Учитывая свойства изогональной сопряженности, можно применить следующее:

1. Для угла $\angle APB$, который равен $120^\circ$, угол $\angle AQB$ в другой точке изогонального сопряжения будет таким, что сумма этих углов и углов треугольника будет составлять $180^\circ$, если они являются дополнительными.

2. То есть, $\angle AQB$ будет зависеть от углов треугольника $ABC$, и существует несколько возможных значений в зависимости от конфигурации.

Шаг 4: Возможные значения угла $\angle AQB$

Мы можем вычислить несколько возможных значений угла $\angle AQB$, основываясь на свойствах изогональной сопряженности и дополнительности углов.

1. Если точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно углов треугольника, то угол $\angle AQB$ может быть равен 60° (в случае, когда угол $\angle APB = 120^\circ$).
2. В другом случае, угол $\angle AQB$ может быть 180° - 120° = 60°, если учитывать дополнительные углы.

Таким образом, ответ может быть равен $\boxed{60^\circ}$.

Важные моменты:

• Углы изогональной сопряженности, как правило, связаны симметрично, и для получения точных значений нужно учитывать взаимосвязь всех углов треугольника.

Подытожим: $\angle AQB$ может быть равен $60^\circ$, при этом возможно и несколько других вариантов в зависимости от конфигурации.

Вопросы для уточнения и расширения:

1. Как влияет расположение точек $P$ и $Q$ на решение задачи?
2. Что происходит с углом $\angle AQB$, если изменить угол $\angle A$?
3. Как можно использовать изогональную сопряженность для других геометрических фигур?
4. Какие еще задачи можно решить, используя понятие изогональной сопряженности?
5. Как можно применить эту задачу в контексте изучения симметрии в геометрии?

Совет: В задачах с изогональной сопряженностью важно внимательно следить за углами и их взаимным расположением относительно вершин треугольника.