L'intervalle $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$ n'est pas une partie ouverte. Voici pourquoi :

En termes topologiques, une partie ouverte dans $\mathbb{R}$ est un ensemble pour lequel, pour chaque point de l'ensemble, il existe un voisinage (un intervalle ouvert autour de ce point) qui est entièrement contenu dans cet ensemble.

Dans le cas de $[0, 1]$ :

• Tous les points strictement à l'intérieur de l'intervalle (c'est-à-dire dans $(0, 1)$) possèdent bien un voisinage entièrement contenu dans $[0, 1]$, donc localement cela semble être ouvert.
• Cependant, les points aux bornes de l'intervalle, c'est-à-dire $0$ et $1$, n'ont pas de voisinage ouvert qui reste entièrement contenu dans l'ensemble $[0, 1]$. Par exemple, pour $0$, tout voisinage contenant $0$ inclurait des points négatifs qui ne sont pas dans l'intervalle $[0, 1]$.

Cela montre que $[0, 1]$ n'est pas une partie ouverte dans $\mathbb{R}$ car les points $0$ et $1$ ne vérifient pas la condition d'ouverture.

Questions associées :

1. Quelles sont les conditions pour qu'un ensemble soit fermé dans $\mathbb{R}$ ?
2. Peut-on considérer $[0, 1]$ comme une partie fermée de $\mathbb{R}$ ?
3. Quel est l'ensemble ouvert associé à $[0, 1]$ ?
4. Quelle est la définition formelle d'un voisinage ouvert en topologie ?
5. Comment définit-on une partie compacte dans $\mathbb{R}$ ?

Tip :

Dans $\mathbb{R}$, un ensemble est ouvert si chaque point de cet ensemble a un voisinage contenu dans cet ensemble.