Year	Cash Flow (A)	Cash Flow (B)
0	-$300,000	-$40,000
1	30,000	19,000
2	50,000	11,000
3	60,000	17,000
4	390,000	10,500
このデータをもとに
a.     If you apply the payback criterion, which investment will you choose? Why?
b.     If you apply the discounted payback criterion, which investment will you choose? Why?
c.     If you apply the NPV criterion, which investment will you choose? Why?
d.     If you apply the IRR criterion, which investment will you choose? Why?
e.     If you apply the profitability index criterion, which investment will you choose? Why?
f.      Based on your answers in (a) through (e), which project will you finally choose? Why?
の解き方を数式を使って解いてください　日本語で

この問題を解くには、まず与えられたデータに基づいて各指標（ペイバック期間、割引ペイバック期間、NPV、IRR、プロフィットインデックス）を計算し、どの投資案が最も優れているかを判断します。以下は、それぞれの指標の計算方法と解き方です。

### 投資案のキャッシュフロー
| Year | Cash Flow (A) | Cash Flow (B) |
|------|---------------|---------------|
| 0    | -$300,000     | -$40,000      |
| 1    | $30,000       | $19,000       |
| 2    | $50,000       | $11,000       |
| 3    | $60,000       | $17,000       |
| 4    | $390,000      | $10,500       |

### (a) ペイバック期間の基準を適用する場合、どちらの投資案を選びますか？ なぜですか？
ペイバック期間は、投資額を回収するのに必要な期間を指します。

#### 投資案Aのペイバック期間
1. 年0: -$300,000
2. 年1: -$300,000 + $30,000 = -$270,000
3. 年2: -$270,000 + $50,000 = -$220,000
4. 年3: -$220,000 + $60,000 = -$160,000
5. 年4: -$160,000 + $390,000 = $230,000 （ここで初めて正となる）

ペイバック期間は、4年です。

#### 投資案Bのペイバック期間
1. 年0: -$40,000
2. 年1: -$40,000 + $19,000 = -$21,000
3. 年2: -$21,000 + $11,000 = -$10,000
4. 年3: -$10,000 + $17,000 = $7,000 （ここで初めて正となる）

ペイバック期間は、3年です。

したがって、**ペイバック期間の基準では、投資案B**を選びます。なぜなら、投資額の回収がより早いためです。

### (b) 割引ペイバック期間の基準を適用する場合、どちらの投資案を選びますか？ なぜですか？
割引ペイバック期間は、キャッシュフローの現在価値が初期投資額を回収するのに必要な期間を指します。割引率を $r$ とします（例えば、10%と仮定）。

まず、キャッシュフローの現在価値を計算します。

#### 投資案Aの割引ペイバック期間
\[
\text{PV of Year 1} = \frac{30,000}{(1 + r)^1}
\]
\[
\text{PV of Year 2} = \frac{50,000}{(1 + r)^2}
\]
\[
\text{PV of Year 3} = \frac{60,000}{(1 + r)^3}
\]
\[
\text{PV of Year 4} = \frac{390,000}{(1 + r)^4}
\]

これらを合計して、初期投資額を回収する年を探します。

#### 投資案Bの割引ペイバック期間
同様に、
\[
\text{PV of Year 1} = \frac{19,000}{(1 + r)^1}
\]
\[
\text{PV of Year 2} = \frac{11,000}{(1 + r)^2}
\]
\[
\text{PV of Year 3} = \frac{17,000}{(1 + r)^3}
\]
\[
\text{PV of Year 4} = \frac{10,500}{(1 + r)^4}
\]

これらを合計して、初期投資額を回収する年を探します。

割引ペイバック期間が短い方が有利です。

### (c) NPV基準を適用する場合、どちらの投資案を選びますか？ なぜですか？
NPV（正味現在価値）は、将来のキャッシュフローの現在価値の合計から初期投資額を差し引いた値です。割引率を $r$ とします。

#### 投資案AのNPV
\[
\text{NPV}(A) = \left(\frac{30,000}{(1 + r)^1} + \frac{50,000}{(1 + r)^2} + \frac{60,000}{(1 + r)^3} + \frac{390,000}{(1 + r)^4}\right) - 300,000
\]

#### 投資案BのNPV
\[
\text{NPV}(B) = \left(\frac{19,000}{(1 + r)^1} + \frac{11,000}{(1 + r)^2} + \frac{17,000}{(1 + r)^3} + \frac{10,500}{(1 + r)^4}\right) - 40,000
\]

NPVが正かつ高い方を選びます。

### (d) IRR基準を適用する場合、どちらの投資案を選びますか？ なぜですか？
IRR（内部収益率）は、NPVがゼロとなる割引率です。

#### 投資案AのIRR
\[
\text{NPV}(A) = 0 \text{ となる } r \text{ を求める}
\]

#### 投資案BのIRR
\[
\text{NPV}(B) = 0 \text{ となる } r \text{ を求める}
\]

IRRが高い方を選びます。

### (e) プロフィットインデックス基準を適用する場合、どちらの投資案を選びますか？ なぜですか？
プロフィットインデックス（PI）は、NPVに初期投資額を加えた比率です。

#### 投資案AのPI
\[
\text{PI}(A) = \frac{\text{NPV}(A) + 300,000}{300,000}
\]

#### 投資案BのPI
\[
\text{PI}(B) = \frac{\text{NPV}(B) + 40,000}{40,000}
\]

PIが1より大きいかつ高い方を選びます。

### (f) 上記の基準に基づいて、最終的にどのプロジェクトを選びますか？ なぜですか？
これまでの分析結果に基づいて、各指標が示す最も有利な投資案を選びます。

---

これが各基準の数式を使った解き方です。具体的な数値計算は、割引率などの条件が与えられた場合に計算できます。

**何か質問や詳細を知りたい点がありますか？**

以下は、関連する質問です：
1. 割引率が10%の場合のNPVを計算してください。
2. 割引ペイバック期間を具体的に計算してください。
3. 投資案BのIRRを求める手順を詳しく説明してください。
4. プロフィットインデックスが1.5を超えると良い理由を説明してください。
5. ペイバック期間と割引ペイバック期間の違いを詳しく説明してください。

**Tip:** 割引率が高いと、将来のキャッシュフローの現在価値が低くなり、NPVも小さくなる傾向があります。

Learn how to analyze investments using payback period, discounted payback period, net present value (NPV), internal rate of return (IRR), and profitability index (PI). Detailed calculations and comparisons between two investment options based on provided cash flow data.

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