Selidiki kekonvergenan deret (98+10)×[1−
1
2
​
+
1
4
​
-
1
8
​
+
1
16
​
]

Kita diminta menyelidiki kekonvergenan dari deret berikut:

\[
(98 + 10) \times \left[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \dots \right]
\]

### Langkah 1: Sederhanakan Ekspresi
Ekspresi di luar deret adalah:
\[
98 + 10 = 108
\]
Sehingga, masalah ini menjadi:
\[
108 \times \left[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \dots \right]
\]

### Langkah 2: Mengenali Deret
Deret di dalam kurung adalah deret tak hingga bertanda yang dapat ditulis sebagai:
\[
S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots
\]

Ini adalah deret geometri dengan suku pertama \( a = 1 \) dan rasio umum \( r = -\frac{1}{2} \).

### Langkah 3: Uji Kekonvergenan Deret Geometri
Deret geometri akan konvergen jika nilai absolut rasio umum \( |r| \) lebih kecil dari 1. Dalam hal ini, \( r = -\frac{1}{2} \), sehingga \( |r| = \frac{1}{2} \). Karena \( \frac{1}{2} < 1 \), deret ini konvergen.

### Langkah 4: Menentukan Jumlah Deret
Jumlah deret geometri tak hingga diberikan oleh rumus:
\[
S = \frac{a}{1 - r}
\]
Di sini, \( a = 1 \) dan \( r = -\frac{1}{2} \), sehingga:
\[
S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}
\]

### Langkah 5: Menghitung Hasil Akhir
Sekarang kita substitusi nilai \( S \) ke dalam ekspresi awal:
\[
108 \times S = 108 \times \frac{2}{3} = 72
\]

### Kesimpulan
Deret tersebut konvergen, dan nilai dari ekspresi keseluruhan adalah **72**.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? Berikut beberapa pertanyaan yang relevan:

1. Apa itu deret geometri dan bagaimana kita mengidentifikasinya?
2. Bagaimana kita menentukan kekonvergenan deret?
3. Mengapa rasio umum dari deret berperan penting dalam menentukan kekonvergenan?
4. Bagaimana jika rasio umum lebih besar dari 1, apa yang terjadi pada deretnya?
5. Apa aplikasi praktis dari deret geometri dalam kehidupan sehari-hari?

**Tip:** Untuk deret geometri dengan rasio antara -1 dan 1, deret tersebut selalu konvergen, dan rumus jumlahnya dapat langsung digunakan.

Explore the convergence of the series (98 + 10) × [1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - ...]. Understand the steps involved in simplifying the expression and determining convergence using geometric series criteria. Suitable for advanced high school students and anyone interested in series and sequences.

Math Problem Statement

Selidiki kekonvergenan deret (98+10)×[1− 1 2 + 1 4

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation