Selidiki kekonvergenan deret berikut: (98+10)×[1−1+
2
1

−
4
1

+
8
1

−
16
1

]

Untuk menyelidiki kekonvergenan deret yang diberikan:

\[
(98 + 10) \times \left[1 - 1 + \frac{2}{1} - \frac{4}{1} + \frac{8}{1} - \frac{16}{1} + \cdots \right]
\]

Kita akan memeriksa bagian di dalam tanda kurung terlebih dahulu.

**Langkah 1:** Identifikasi deret

Deret di dalam tanda kurung adalah:

\[
1 - 1 + \frac{2}{1} - \frac{4}{1} + \frac{8}{1} - \frac{16}{1} + \cdots
\]

Ini tampaknya adalah deret dengan suku-suku yang dapat dinyatakan sebagai:

\[
a_n = (-1)^{n-1} \times 2^{n-2}
\]

**Langkah 2:** Penyederhanaan deret

Perhatikan bahwa deret ini bisa ditulis ulang sebagai:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \times 2^{n-2}
\]

Kita dapat faktorkan \(2^{n-2}\) dari setiap suku, dan deret tersebut menjadi:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \times 2^{n-2} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-2)^n
\]

Deret ini adalah deret geometri dengan rasio umum \(r = -2\), yang mana \(|r| > 1\). 

**Langkah 3:** Pemeriksaan Kekonvergenan

Deret geometri konvergen jika dan hanya jika \(|r| < 1\). Karena \( |r| = 2 \) lebih besar dari 1, maka deret ini divergen.

Dengan demikian, karena deret dalam tanda kurung divergen, maka keseluruhan ekspresi:

\[
(98 + 10) \times \left[1 - 1 + \frac{2}{1} - \frac{4}{1} + \frac{8}{1} - \frac{16}{1} + \cdots \right]
\]

juga divergen.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan lainnya?

Berikut lima pertanyaan terkait yang mungkin menarik:
1. Bagaimana cara menentukan kekonvergenan deret geometri lainnya?
2. Apa saja kriteria umum untuk menentukan kekonvergenan suatu deret?
3. Bagaimana membedakan antara deret divergen dan konvergen secara intuitif?
4. Apa itu uji rasio dan bagaimana menerapkannya pada deret tak hingga?
5. Bagaimana aplikasi praktis dari deret geometri dalam masalah dunia nyata?

**Tip:** Ketika memeriksa kekonvergenan deret, selalu periksa terlebih dahulu bentuk umum suku ke-n dan nilai absolut dari rasio jika ada.

Learn how to investigate the convergence of the series (98+10)×[1−1+2/1−4/1+8/1−16/1]. Understand the application of geometric series and convergence criteria. Suitable for undergraduate level study.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation