Для нахождения обратной матрицы $C^{-1}$, сначала найдем $C$, а затем вычислим её обратную матрицу методом Лапласа.

Шаг 1: Определение матрицы $C$

Матрица $C$ задаётся как:

$C = A \cdot B^T + ZE$

Где:

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 18 \end{pmatrix}$,
• $B = \begin{pmatrix} 2 & 18 \\ 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$,
• $B^T$ — транспонированная матрица $B$,
• $Z$ и $E$ неизвестны, но если они не заданы, будем считать $Z = 0$ и $E = 0$.

Тогда: $B^T = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 18 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

Умножим $A$ на $B^T$.

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 18 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 18 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$ Рассчитаем произведение $$A \cdot B^T$$: 1. Первая строка: $$1 \cdot 2 + 2 \cdot 18 = 2 + 36 = 38,\quad 1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 = 5 + 8 = 13,\quad 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$$ 2. Вторая строка: $$3 \cdot 2 + 4 \cdot 18 = 6 + 72 = 78,\quad 3 \cdot 5 + 4 \cdot 4 = 15 + 16 = 31,\quad 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11$$ 3. Третья строка: $$5 \cdot 2 + 18 \cdot 18 = 10 + 324 = 334,\quad 5 \cdot 5 + 18 \cdot 4 = 25 + 72 = 97,\quad 5 \cdot 1 + 18 \cdot 2 = 5 + 36 = 41$$ Таким образом: $$C = \begin{pmatrix} 38 & 13 & 5 \\ 78 & 31 & 11 \\ 334 & 97 & 41 \end{pmatrix}$$ ### Шаг 2: Обратная матрица методом Лапласа Обратная матрица $$C^{-1}$$ существует, если определитель $$\det(C) \neq 0$$. Найдём $$\det(C)$$ методом разложения по первой строке. $$\det(C) = 38 \cdot \det\begin{pmatrix} 31 & 11 \\ 97 & 41 \end{pmatrix} - 13 \cdot \det\begin{pmatrix} 78 & 11 \\ 334 & 41 \end{pmatrix} + 5 \cdot \det\begin{pmatrix} 78 & 31 \\ 334 & 97 \end{pmatrix}$$ #### Вычисление подматриц: 1. Для $$\det\begin{pmatrix} 31 & 11 \\ 97 & 41 \end{pmatrix}$$: $$\det = 31 \cdot 41 - 11 \cdot 97 = 1271 - 1067 = 204$$ 2. Для $$\det\begin{pmatrix} 78 & 11 \\ 334 & 41 \end{pmatrix}$$: $$\det = 78 \cdot 41 - 11 \cdot 334 = 3198 - 3674 = -476$$ 3. Для $$\det\begin{pmatrix} 78 & 31 \\ 334 & 97 \end{pmatrix}$$: $$\det = 78 \cdot 97 - 31 \cdot 334 = 7566 - 10354 = -2788$$ #### Итоговый определитель $$C$$: $$\det(C) = 38 \cdot 204 - 13 \cdot (-476) + 5 \cdot (-2788)$$ $$\det(C) = 7752 + 6180 - 13940 = 5376 - 13940 = -8564$$ Так как $$\det(C) \neq 0$$, обратная матрица существует. ### Шаг 3: Найдём обратную матрицу Обратная матрица вычисляется как: $$C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \cdot \text{Adj}(C)$$ Где $$\text{Adj}(C)$$ — присоединённая матрица. Найдём её, вычислив алгебраические дополнения для всех элементов $$C$$. Продолжить