Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng phương pháp gauss với A = [1 2 -1; 0 1 2; -1 3 1]

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận \( A \) bằng phương pháp Gauss, ta cần thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận mở rộng \( [A | I] \), với \( I \) là ma trận đơn vị cùng kích thước với \( A \), để biến đổi ma trận \( A \) thành ma trận đơn vị. Khi đó, phần bên phải của ma trận mở rộng sẽ trở thành ma trận nghịch đảo của \( A \).

Cho \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tạo ma trận mở rộng
Ta kết hợp ma trận \( A \) với ma trận đơn vị \( I \):

\[
[A | I] = \left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]

### Bước 2: Biến đổi hàng để tạo ma trận đơn vị
**(a)** Hàng 1 đã có phần tử 1 ở vị trí (1,1), nên ta giữ nguyên Hàng 1.

**(b)** Để loại bỏ phần tử -1 ở vị trí (3,1), ta thực hiện phép biến đổi hàng: \( H_3 = H_3 + H_1 \).

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]

**(c)** Giờ ta tiếp tục loại bỏ phần tử 5 ở vị trí (3,2). Thực hiện phép biến đổi hàng: \( H_3 = H_3 - 5 \cdot H_2 \).

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -10 & 1 & -5 & 1
\end{array}\right]
\]

**(d)** Biến đổi để phần tử ở vị trí (3,3) trở thành 1: \( H_3 = \frac{H_3}{-10} \).

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{10} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{10}
\end{array}\right]
\]

**(e)** Loại bỏ phần tử -1 ở vị trí (1,3) bằng phép biến đổi: \( H_1 = H_1 + H_3 \).

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 0 & \frac{9}{10} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{10} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{10}
\end{array}\right]
\]

**(f)** Loại bỏ phần tử 2 ở vị trí (1,2) bằng phép biến đổi: \( H_1 = H_1 - 2 \cdot H_2 \).

\[
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{9}{10} & 0 & -\frac{1}{10} \\
0 & 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{10} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{10}
\end{array}\right]
\]

### Bước 3: Kết quả
Phần bên phải của ma trận mở rộng chính là ma trận nghịch đảo của \( A \):

\[
A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{9}{10} & 0 & -\frac{1}{10} \\ \frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \end{bmatrix}
\]

---

Nếu bạn muốn biết thêm chi tiết hoặc có thắc mắc, hãy cho tôi biết nhé!

**Câu hỏi mở rộng:**
1. Làm thế nào để xác định một ma trận có nghịch đảo không?
2. Có cách nào khác để tính nghịch đảo của ma trận không?
3. Phương pháp Gauss có thể áp dụng cho ma trận kích thước lớn như thế nào?
4. Khi nào thì một ma trận không có nghịch đảo?
5. Phương pháp nào khác ngoài Gauss có thể dùng để tìm nghịch đảo của ma trận?

**Mẹo:** Nếu định thức của ma trận bằng 0, ma trận đó không có nghịch đảo.

Learn how to find the inverse of matrix A using the Gaussian elimination method. Step-by-step guide on elementary row operations to invert A = [1 2 -1; 0 1 2; -1 3 1]. Suitable for college-level linear algebra students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation