Tarkastellaan annettua funktiota $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$, ja selvitetään, onko sillä käänteisfunktiota.

1. Ehdot käänteisfunktion olemassaololle

Jotta reaalifunktiolla $f$ olisi käänteisfunktio, sen täytyy olla yksikäsitteinen (eli injektiivinen) määrittelyjoukossaan. Tämä tarkoittaa, että jokaisella $y \in \mathbb{R}$ on korkeintaan yksi vastaava $x$ siten, että $f(x) = y$.

Funktio $f(x)$ on yksikäsitteinen, jos sen derivaatan merkki ei vaihdu (toisin sanoen funktio on joko aina kasvava tai aina vähenevä). Tarkastellaan derivaattaa.

2. Derivaatan laskeminen

Funktio on $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x.$ Derivoidaan: $f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2.$

3. Analyysi derivaatasta

Koska $f'(x) = 3(x-1)^2$, huomataan, että:

• $f'(x) \geq 0$ kaikilla $x \in \mathbb{R}$, sillä neliö $(x-1)^2 \geq 0$.
• $f'(x) = 0$ vain kohdassa $x = 1$.

Tästä seuraa, että funktio on kasvava, mutta ei tiukasti kasvava, koska derivaatta on nolla kohdassa $x = 1$. Tästä johtuen funktio ei ole injektiivinen määrittelyjoukossaan (esimerkiksi $f(0) = f(2) = 0$), eikä sillä siten ole käänteisfunktiota koko reaalilukujen joukossa.

4. Osittaiskäänteisfunktio tietyllä välillä

Funktio voi kuitenkin saada käänteisfunktion, jos sen määrittelyjoukko rajataan väliin, jossa se on tiukasti kasvava. Esimerkiksi:

• Välillä $(-\infty, 1]$ funktio on tiukasti kasvava.
• Välillä $[1, \infty)$ funktio on myös tiukasti kasvava.

Näillä väleillä käänteisfunktio voidaan määrittää.

5. Johtopäätös

Funktiolla $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ ei ole käänteisfunktiota koko reaalilukujen joukossa, mutta sillä voi olla käänteisfunktio tietyillä väleillä, kuten $(-\infty, 1]$ tai $[1, \infty)$.

Haluaisitko tarkempia laskelmia jollain tietyllä välillä?

---

Lisäkysymyksiä:

1. Haluaisitko, että lasketaan käänteisfunktio tietyllä välillä, esimerkiksi $(-\infty, 1]$?
2. Tarvitsetko lisätietoja funktion kuvaajasta ja sen käyttäytymisestä?
3. Haluaisitko nähdä funktion kuvaajan analyysin visualisoituna?
4. Pitäisikö tarkastella, missä kohtaa funktio leikkaa akselit?
5. Kiinnostavatko sovellukset, joissa käänteisfunktiota tarvitaan käytännössä?

Vinkki:

Kun tarkastellaan käänteisfunktion olemassaoloa, kannattaa aina aloittaa derivaatan analyysista varmistaaksesi, onko funktio injektiivinen!