Para encontrar a função inversa $f^{-1}(x)$ da função $f(x) = \frac{1}{x-3}$, seguimos o processo de troca de variáveis e resolução para a nova variável independente. Vamos revisar o procedimento passo a passo:

Passo a Passo para Encontrar a Função Inversa

1. Começamos com a função original:

   $y = \frac{1}{x - 3}$

2. Trocamos $x$ e $y$ para encontrar a inversa:

   $x = \frac{1}{y - 3}$

3. Resolvemos para $y$:

   Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por $y - 3$:

   $x(y - 3) = 1$

   Expandindo e isolando $y$:

   $xy - 3x = 1$

   $xy = 1 + 3x$

   $y = \frac{1 + 3x}{x}$

4. Identificamos a função inversa:

   Portanto, a função inversa é:

   $f^{-1}(x) = \frac{1 + 3x}{x} = \frac{1}{x} + 3$

Assim, a função inversa de $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ é:

$f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 3$

Conclusão

Esta é a função inversa de $f(x) = \frac{1}{x - 3}$. Trocar $x$ e $y$ e resolver para a nova variável $y$ é o método padrão para encontrar funções inversas. É importante notar que a função original deve ser uma função bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora) para que sua inversa exista e seja única.

---

Você gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta sobre o procedimento? Aqui estão algumas questões para explorar mais o tópico:

1. Como podemos verificar que a função $f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 3$ é realmente a inversa de $f(x) = \frac{1}{x - 3}$?
2. Existe algum ponto em que a função $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ ou sua inversa $f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 3$ não são definidas?
3. Qual é o domínio e a imagem da função original $f(x)$ e de sua inversa $f^{-1}(x)$?
4. Como a noção de simetria em relação à linha $y = x$ se aplica a funções inversas?
5. Em quais outras situações é útil encontrar a função inversa?

Dica: Sempre que encontrar uma função inversa, verifique o domínio e a imagem da função original e da inversa para garantir que ambas sejam bijetoras.