**Função Inversa f−1(x)*f*−1(*x*):**

Para encontrar a inversa, trocamos x*x* e y*y* na equação y=1x−3*y*=*x*−31​ e resolvemos para y*y*:

x=1y−3⇒y−3=1x⇒y=1x+3*x*=*y*−31​⇒*y*−3=*x*1​⇒*y*=*x*1​+3

Logo, f−1(x)=1x+3*f*−1(*x*)=*x*1​+3.

Para encontrar a função inversa \( f^{-1}(x) \) da função \( f(x) = \frac{1}{x-3} \), seguimos o processo de troca de variáveis e resolução para a nova variável independente. Vamos revisar o procedimento passo a passo:

### Passo a Passo para Encontrar a Função Inversa

1. **Começamos com a função original:**

   \[
   y = \frac{1}{x - 3}
   \]

2. **Trocamos \( x \) e \( y \) para encontrar a inversa:**

   \[
   x = \frac{1}{y - 3}
   \]

3. **Resolvemos para \( y \):**

   Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por \( y - 3 \):

   \[
   x(y - 3) = 1
   \]

   Expandindo e isolando \( y \):

   \[
   xy - 3x = 1
   \]

   \[
   xy = 1 + 3x
   \]

   \[
   y = \frac{1 + 3x}{x}
   \]

4. **Identificamos a função inversa:**

   Portanto, a função inversa é:

   \[
   f^{-1}(x) = \frac{1 + 3x}{x} = \frac{1}{x} + 3
   \]

Assim, a função inversa de \( f(x) = \frac{1}{x - 3} \) é:

\[
f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 3
\]

### Conclusão

Esta é a função inversa de \( f(x) = \frac{1}{x - 3} \). Trocar \( x \) e \( y \) e resolver para a nova variável \( y \) é o método padrão para encontrar funções inversas. É importante notar que a função original deve ser uma função bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora) para que sua inversa exista e seja única.

---

Você gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta sobre o procedimento? Aqui estão algumas questões para explorar mais o tópico:

1. Como podemos verificar que a função \( f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 3 \) é realmente a inversa de \( f(x) = \frac{1}{x - 3} \)?
2. Existe algum ponto em que a função \( f(x) = \frac{1}{x - 3} \) ou sua inversa \( f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 3 \) não são definidas?
3. Qual é o domínio e a imagem da função original \( f(x) \) e de sua inversa \( f^{-1}(x) \)?
4. Como a noção de simetria em relação à linha \( y = x \) se aplica a funções inversas?
5. Em quais outras situações é útil encontrar a função inversa?

**Dica:** Sempre que encontrar uma função inversa, verifique o domínio e a imagem da função original e da inversa para garantir que ambas sejam bijetoras.

Função Inversa f−1(x): Para encontrar a inversa, trocamos x e y na equação y = 1/(x-3) e resolvemos para y: x = 1/(y-3) ⇒ y - 3 = 1/x ⇒ y = 1/x + 3 Logo, f−1(x) = 1/x + 3.

Discover how to find the inverse function of f(x) = 1/(x - 3) through a detailed step-by-step solution. This problem explores key algebraic concepts, including inverse functions and their properties. Ideal for students in Grades 10-12.

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