Для нахождения интервала сходимости степенного ряда

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n^2 + 1)}{3^n (3n^4 + 5)} (x + 6)^n,$

используем радиус сходимости степенного ряда, который можно найти с помощью критерия Д'Аламбера (или иногда — критерия Коши). Этот критерий требует вычисления предела отношения последовательных членов ряда:

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|,$ где $a_n = \frac{(2n^2 + 1)}{3^n (3n^4 + 5)} (x+6)^n$.

1. Найдём выражение для отношения $\frac{a_{n+1}}{a_n}$:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(2(n+1)^2 + 1)}{3^{n+1}(3(n+1)^4 + 5)} (x+6)^{n+1}}{\frac{(2n^2 + 1)}{3^n (3n^4 + 5)} (x+6)^n}.$

Упростим это выражение:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2(n+1)^2 + 1)}{(3n^4 + 5)} \cdot \frac{1}{3} \cdot (x+6).$

Теперь найдем предел при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 4n + 3}{3n^4 + 12n^3 + 18n^2 + 12n + 5} \cdot \frac{(x+6)}{3}.$

Основные члены при больших $n$ для числителя и знаменателя:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{3n^4} \cdot \frac{(x+6)}{3} = \frac{2}{3n^2} \cdot \frac{x+6}{3}.$

Поскольку $\frac{2}{3n^2} \to 0$ при $n \to \infty$, то предел стремится к нулю для всех $x$.

2. Интервал сходимости

Из критерия Д'Аламбера следует, что ряд сходится для всех значений $x$, поскольку предел отношения последовательных членов стремится к нулю при любых $x$. Это означает, что радиус сходимости бесконечен, и степенной ряд сходится на всём множестве вещественных чисел, т.е. на интервале $(-\infty, \infty)$.

3. Поведение на концах интервала

Так как радиус сходимости равен бесконечности, а ряд сходится на всём множестве вещественных чисел, на концах интервала $(-\infty, \infty)$ каких-либо особенностей поведения нет.

Вывод:

• Интервал сходимости: $(-\infty, \infty)$.
• Ряд сходится на всём множестве вещественных чисел.

---

Есть ли вопросы по решению? Нужны ли дополнительные детали?

Вопросы для размышления:

1. Как изменился бы результат, если бы показатель степени у $x+6$ был другим?
2. Какие методы можно использовать для изучения сходимости рядов, кроме критерия Д'Аламбера?
3. Какое значение имеет конечная сумма степенного ряда?
4. Как влияют значения радиуса сходимости на применение степенных рядов в реальных задачах?
5. Что произойдет с радиусом сходимости, если изменить числовые коэффициенты в ряду?

Совет: Для проверки сходимости ряда на границах интервала можно также использовать критерий Коши или сравнение с известными сходящимися/расходящимися рядами.