Math Problem Statement

Известно, что графики функций у - а - х? и у = 3 - 2х имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики функций в одной системе координат.

Solution

Нам нужно найти общую точку для двух функций:

  1. y=axy = a - x
  2. y=32xy = 3 - 2x

Чтобы найти точку пересечения этих графиков, приравняем их правые части:

ax=32xa - x = 3 - 2x

Решим это уравнение относительно xx:

ax=32xa - x = 3 - 2x

Добавим 2x2x и xx с обеих сторон:

a=3xa = 3 - x

Теперь выразим xx:

x=3ax = 3 - a

Таким образом, для каждой фиксированной величины aa существует определённая точка пересечения x=3ax = 3 - a.

Теперь подставим найденное значение xx в одну из исходных функций, чтобы найти значение yy. Подставим в функцию y=32xy = 3 - 2x:

y=32(3a)=36+2a=2a3y = 3 - 2(3 - a) = 3 - 6 + 2a = 2a - 3

Таким образом, координаты общей точки равны:

(3a,2a3)(3 - a, 2a - 3)

Для того, чтобы графики имели одну общую точку, нам нужно, чтобы yy-значения для обеих функций совпали. Это уже учтено, так как мы решаем систему уравнений.

Теперь давайте для примера, если a=4a = 4, то точка пересечения будет:

x=34=1,y=2(4)3=5x = 3 - 4 = -1, \quad y = 2(4) - 3 = 5

Значит, координаты точки пересечения для a=4a = 4 будут (1,5)(-1, 5).

Построение графиков

Для построения графиков нужно отметить:

  • График функции y=axy = a - x будет прямой с наклоном 1-1 и пересечением с осью yy в точке (0,a)(0, a).
  • График функции y=32xy = 3 - 2x будет прямой с наклоном 2-2 и пересечением с осью yy в точке (0,3)(0, 3).

Хотите, чтобы я нарисовал графики этих функций? Или у вас есть другие вопросы по этой задаче?


Дополнительные вопросы для изучения:

  1. Как изменить наклон прямой y=axy = a - x, чтобы она пересекалась с другой прямой в другой точке?
  2. Как решить систему двух линейных уравнений графически?
  3. Что влияет на количество общих точек двух линейных функций?
  4. Что происходит, если a=3a = 3 для функции y=axy = a - x?
  5. Как можно найти точку пересечения двух прямых с разными угловыми коэффициентами?

Совет: Убедитесь, что правильно подставили найденные значения в уравнение для yy, чтобы не ошибиться при решении.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Functions
System of Equations
Intersection of Functions

Formulas

y = a - x
y = 3 - 2x

Theorems

Solving systems of linear equations
Intersection of linear functions

Suitable Grade Level

Grades 8-10