与えられた関数

$x\sqrt{x-1}$

を $x$ について積分します。

手順 1: 置換積分

置換 $t = x - 1$ を導入すると、

$dt = dx, \quad x = t + 1$

したがって、積分は

$\int (t+1) \sqrt{t} \, dt$

となります。

手順 2: 分配法則を利用

$\int (t+1) t^{\frac{1}{2}} \, dt$

を展開すると、

$\int t^{\frac{3}{2}} \, dt + \int t^{\frac{1}{2}} \, dt$

となります。

手順 3: 各項の積分

べき乗の積分公式

$\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

を適用すると、

$\int t^{\frac{3}{2}} dt = \frac{t^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$

$\int t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$

手順 4: 置換を戻す

$\frac{2}{5} (x-1)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} + C$

これが求める不定積分の解です。

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確認や詳細の説明が必要ですか？

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📌 積分のコツ: 置換積分を使うときは、指数を簡単にできるような $t$ を選ぶと計算が楽になる。