Для решения этого задания давайте разберёмся шаг за шагом:

Дано:

Нужно преобразовать интеграл
$\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}$

1. Выделим полный квадрат в знаменателе.
   Выражение в знаменателе: $x^2 + 4x + 5$ Выделяем полный квадрат: $x^2 + 4x + 4 + 1 = (x+2)^2 + 1.$

   Теперь интеграл преобразуется в: $\int \frac{dx}{(x+2)^2 + 1}.$

2. Замена переменной: Положим: $t = x + 2, \quad \text{тогда } dt = dx.$

   Интеграл принимает вид: $\int \frac{dt}{t^2 + 1}.$

   Это стандартный интеграл: $\int \frac{dt}{t^2 + 1} = \arctan(t) + C.$

3. Ответ на задание: Из предложенных вариантов правильный: $t = x + 2, \quad \int \frac{dt}{t^2 + 1}.$

Если нужно разобрать подробнее, напишите!

Вопросы для расширения темы:

1. Как выделять полный квадрат для других многочленов второй степени?
2. Почему для интегралов с $(t^2 + a^2)$ применяется арктангенс?
3. Какие существуют методы замены переменной в интегралах?
4. Как интегрировать выражения вида $\int \frac{dx}{x^2 + ax + b}$ в общем случае?
5. Какие тригонометрические подстановки полезны для подобных интегралов?

Совет:

Всегда проверяйте возможность выделения полного квадрата в знаменателе, прежде чем использовать сложные методы интегрирования.