Lasketaan integraali $\int (3x - 2)^{1/2} \, dx$.

1. Käytämme sijoitusmenetelmää:

Tässä tapauksessa voimme käyttää yksinkertaista muuttujan korvausta. Määritellään:

$u = 3x - 2$

Näin ollen derivoimalla saamme:

$du = 3 \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{3}$

2. Korvataan alkuperäisessä integraalissa:

Muuttamalla muuttujat $u$-muotoon, saamme integraalin:

$\int (3x - 2)^{1/2} \, dx = \int u^{1/2} \cdot \frac{du}{3}$

$= \frac{1}{3} \int u^{1/2} \, du$

3. Lasketaan integraali:

Muistetaan, että integraali $\int u^n \, du$ on $\frac{u^{n+1}}{n+1}$, joten tässä tapauksessa $n = \frac{1}{2}$:

$\int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}$

4. Korvataan takaisin alkuperäinen muuttuja $u = 3x - 2$:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} (3x - 2)^{3/2} = \frac{2}{9} (3x - 2)^{3/2}$

5. Älä unohda vakiotermiä $C$:

Koska tämä on määrittelemätön integraali, lisätään lopuksi vakiotermi $C$:

$\frac{2}{9} (3x - 2)^{3/2} + C$

Loppupäätelmä:

$\int (3x - 2)^{1/2} \, dx = \frac{2}{9} (3x - 2)^{3/2} + C$

---

Jos haluat tarkempia selityksiä tai muita esimerkkejä, kerro vain!

Tässä on myös viisi jatkokysymystä:

1. Miten voin käyttää toista muuttujan korvausmenetelmää, kuten trigonometrinen korvaus, tässä integraalissa?
2. Mikä on muotoa $(ax + b)^n$ olevan polynomifunktion integraali?
3. Miten pystyn ratkaisemaan laajempia integraaleja, joissa on useita muuttujia?
4. Mitä tarkoittaa "määrätty integraali" ja miten se eroaa määrittelemättömästä integraalista?
5. Voinko laskea saman integraalin käyttämällä osittaisintegraali-menetelmää?

Vinkki: Integraaliin liittyvissä tehtävissä kannattaa aina ensin tarkastella mahdollisuuksia muuttujan korvaukselle ennen kuin valitset suoran ratkaisun!