Kita akan menyelesaikan integral berikut:

$\int x^2 (3x - 2)^4 \, dx$

Penyelesaian:

Langkah 1: Substitusi

Gunakan substitusi $u = 3x - 2$, sehingga: $\frac{du}{dx} = 3 \quad \text{atau} \quad dx = \frac{du}{3}.$

Selanjutnya, $u = 3x - 2$ berarti $x = \frac{u + 2}{3}$.

Langkah 2: Mengganti variabel

Substitusi $x^2$ dan $dx$ ke dalam integral: $x^2 = \left(\frac{u + 2}{3}\right)^2.$ Sehingga integral menjadi: $\int x^2 (3x - 2)^4 \, dx = \int \left(\frac{u + 2}{3}\right)^2 u^4 \frac{du}{3}.$

Langkah 3: Faktorkan konstanta

Keluarkan faktor $\frac{1}{27}$: $\int \left(\frac{u + 2}{3}\right)^2 u^4 \frac{du}{3} = \frac{1}{27} \int (u + 2)^2 u^4 \, du.$

Langkah 4: Kembangkan $(u + 2)^2$

Ekspansi $(u + 2)^2$: $(u + 2)^2 = u^2 + 4u + 4.$ Sehingga integral menjadi: $\frac{1}{27} \int (u^2 + 4u + 4) u^4 \, du.$

Langkah 5: Distribusi dan integrasi

Distribusikan $u^4$: $(u^2 + 4u + 4) u^4 = u^6 + 4u^5 + 4u^4.$ Integral menjadi: $\frac{1}{27} \int (u^6 + 4u^5 + 4u^4) \, du = \frac{1}{27} \left(\frac{u^7}{7} + \frac{4u^6}{6} + \frac{4u^5}{5}\right) + C.$

Langkah 6: Substitusi kembali

Kembalikan ke $x$ dengan $u = 3x - 2$: $\frac{1}{27} \left(\frac{(3x - 2)^7}{7} + \frac{4(3x - 2)^6}{6} + \frac{4(3x - 2)^5}{5}\right) + C.$

Langkah 7: Sederhanakan konstanta

Sederhanakan konstanta pecahan: $\frac{1}{27} \left(\frac{(3x - 2)^7}{7} + \frac{2(3x - 2)^6}{3} + \frac{4(3x - 2)^5}{5}\right) + C.$

Jawaban Akhir:

$\int x^2 (3x - 2)^4 \, dx = \frac{(3x - 2)^7}{189} + \frac{2(3x - 2)^6}{81} + \frac{4(3x - 2)^5}{135} + C.$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan? 😊
Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara memilih substitusi yang tepat?
2. Apakah ada metode lain untuk menyelesaikan integral ini?
3. Mengapa konstanta $\frac{1}{27}$ muncul dalam proses integrasi?
4. Apa manfaat substitusi dalam integral kompleks?
5. Bagaimana cara memeriksa hasil integral?

Tip: Saat menghadapi integral yang melibatkan pangkat tinggi, substitusi sering kali membantu menyederhanakan ekspresi dengan lebih cepat.