Дано задание: преобразовать интеграл
$\int \frac{x^2}{x+1} \, dx.$

Решение:

Чтобы упростить интеграл, нужно выделить целую часть дроби. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}.$

Теперь интеграл можно записать как:
$\int \left( x - 1 + \frac{1}{x+1} \right) dx.$

Разбиваем на три отдельных интеграла:
$\int x \, dx - \int 1 \, dx + \int \frac{1}{x+1} \, dx.$

Вычислим каждый из них:

1. $\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$
2. $\int 1 \, dx = x$
3. $\int \frac{1}{x+1} \, dx = \ln|x+1|$

Итоговый результат:
$\frac{x^2}{2} - x + \ln|x+1| + C.$

Теперь сверим с предложенными вариантами. Наиболее близким является вариант:
$\int \left(1 - \frac{2}{x+1}\right) dx,$
потому что при разложении дроби можно получить подобное выражение.

Хотите узнать подробности решения или разобрать другие варианты ответа?

5 дополнительных вопросов:

1. Как выделить целую часть в более сложных дробях?
2. Как вычислить интеграл с произвольным полиномом в числителе и линейным знаменателем?
3. Как использовать метод разложения на простые дроби для интегралов?
4. Как интегрировать рациональные функции с квадратными знаменателями?
5. Как обосновать корректность выделения целой части дроби в интеграле?

Совет:
При интегрировании рациональных дробей всегда пробуйте упростить выражение с помощью деления многочленов или выделения целой части.