Untuk menyelesaikan integral tak-tentu $\int x^6 \sin(3x^7 + 9) \cdot 3 \sqrt{\cos(3x^7 + 9)} \, dx$ menggunakan metode substitusi, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Menentukan Substitusi

Lihat bahwa ada ekspresi yang berulang di dalam integral, yaitu $3x^7 + 9$. Kita dapat menggunakan substitusi untuk menyederhanakan bagian ini.

Misalkan: $u = 3x^7 + 9$

Kemudian, kita cari turunan dari $u$ terhadap $x$ untuk menggantikan elemen-elemen lain dalam integral:

$\frac{du}{dx} = 21x^6$ $du = 21x^6 \, dx$ $x^6 \, dx = \frac{du}{21}$

Langkah 2: Mengganti dalam Integral

Sekarang kita substitusikan $u$ dan $x^6 \, dx$ ke dalam integral. Integral yang diberikan menjadi: $\int x^6 \sin(3x^7 + 9) \cdot 3 \sqrt{\cos(3x^7 + 9)} \, dx$ Setelah substitusi $u = 3x^7 + 9$ dan $x^6 \, dx = \frac{du}{21}$, kita dapat menulis ulang integral sebagai: $\int \sin(u) \cdot 3 \sqrt{\cos(u)} \cdot \frac{du}{21}$

Langkah 3: Menyederhanakan Integral

Kita bisa menyederhanakan konstanta: $\frac{3}{21} = \frac{1}{7}$ Jadi integral kita menjadi: $\frac{1}{7} \int \sin(u) \cdot \sqrt{\cos(u)} \, du$

Langkah 4: Substitusi Lanjutan

Untuk menyelesaikan integral $\int \sin(u) \sqrt{\cos(u)} \, du$, kita dapat menggunakan substitusi lebih lanjut, yaitu: $v = \cos(u)$ Kemudian: $dv = -\sin(u) \, du$

Sehingga integralnya menjadi: $-\frac{1}{7} \int \sqrt{v} \, dv$

Langkah 5: Menyelesaikan Integral

Integral $\int \sqrt{v} \, dv$ adalah integral dasar yang dapat diselesaikan dengan aturan pangkat: $\int v^{1/2} \, dv = \frac{2}{3} v^{3/2}$ Maka integralnya menjadi: $-\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{3} v^{3/2} = -\frac{2}{21} v^{3/2}$

Langkah 6: Kembali ke Variabel Asal

Sekarang, kita kembalikan substitusi $v = \cos(u)$ dan $u = 3x^7 + 9$. Jadi hasil akhirnya adalah: $-\frac{2}{21} \left( \cos(3x^7 + 9) \right)^{3/2} + C$

Hasil Akhir

Integral tak-tentu yang diberikan adalah: $\int x^6 \sin(3x^7 + 9) \cdot 3 \sqrt{\cos(3x^7 + 9)} \, dx = -\frac{2}{21} \left( \cos(3x^7 + 9) \right)^{3/2} + C$

Apakah ada bagian yang kurang jelas atau ingin Anda bahas lebih lanjut?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan substitusi yang tepat dalam integral?
2. Apa perbedaan antara substitusi langsung dan substitusi lanjutan dalam integral?
3. Apa hubungan antara fungsi trigonometri dan bentuk akar dalam integral ini?
4. Bagaimana cara mengecek kebenaran hasil integral tak-tentu?
5. Apa yang dimaksud dengan konstanta integrasi dalam integral tak-tentu?

Tip: Selalu periksa bentuk fungsi dalam integral untuk mencari pola yang bisa disubstitusikan, seperti deret pangkat atau fungsi komposit.