Mari kita bahas dan kerjakan soal berikut.

Diberikan:

1. $f(x)$ adalah fungsi ganjil, dan $g(x)$ adalah fungsi genap.
2. $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$, karena integral fungsi ganjil pada interval simetris terhadap nol selalu bernilai nol.
3. $\int_{-a}^a g(x) \, dx = 3$, karena fungsi genap akan memberikan hasil dua kali lipat dari integral pada setengah interval positif.

Diminta menghitung integrasi berdasarkan properti tersebut.

Penyelesaian:

Gunakan fakta dasar fungsi ganjil dan genap:

• Fungsi ganjil: $f(-x) = -f(x)$.
• Fungsi genap: $g(-x) = g(x)$.

(a) $\int_{-3}^3 f(x) \, dx$

Karena $f(x)$ adalah fungsi ganjil: $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0.$ Maka: $\int_{-3}^3 f(x) \, dx = 0.$

(b) $\int_{-3}^3 g(x) \, dx$

Karena $g(x)$ adalah fungsi genap: $\int_{-a}^a g(x) \, dx = 2 \int_{0}^a g(x) \, dx.$ Diberikan $\int_{-3}^3 g(x) \, dx = 3$, maka: $\int_{-3}^3 g(x) \, dx = 3.$

(c) $\int_{-3}^3 f(x)g(x) \, dx$

Perhatikan bahwa hasil perkalian $f(x)g(x)$:

• $f(x)$ ganjil dan $g(x)$ genap, sehingga $f(x)g(x)$ adalah fungsi ganjil (karena ganjil × genap = ganjil).
• Integral fungsi ganjil pada interval simetris adalah nol.

Maka: $\int_{-3}^3 f(x)g(x) \, dx = 0.$

(d) $\int_{-3}^3 [f(x) - g(x)] \, dx$

Gunakan sifat integral: $\int_{-3}^3 [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-3}^3 f(x) \, dx - \int_{-3}^3 g(x) \, dx.$ Dari (a) dan (b), kita tahu: $\int_{-3}^3 f(x) \, dx = 0, \quad \int_{-3}^3 g(x) \, dx = 3.$ Maka: $\int_{-3}^3 [f(x) - g(x)] \, dx = 0 - 3 = -3.$

(e) $\int_{0}^3 g(x) \, dx$

Karena $g(x)$ adalah fungsi genap: $\int_{-3}^3 g(x) \, dx = 2 \int_{0}^3 g(x) \, dx.$ Diberikan $\int_{-3}^3 g(x) \, dx = 3$, maka: $2 \int_{0}^3 g(x) \, dx = 3 \implies \int_{0}^3 g(x) \, dx = \frac{3}{2}.$

(f) $\int_{-3}^3 f^3(x) \, dx$

Karena $f(x)$ adalah fungsi ganjil, pangkat ganjil dari $f(x)$ ($f^3(x)$) tetap ganjil: $f^3(-x) = -(f^3(x)).$ Integral fungsi ganjil pada interval simetris adalah nol: $\int_{-3}^3 f^3(x) \, dx = 0.$

Hasil Akhir

(a) $\int_{-3}^3 f(x) \, dx = 0$
(b) $\int_{-3}^3 g(x) \, dx = 3$
(c) $\int_{-3}^3 f(x)g(x) \, dx = 0$
(d) $\int_{-3}^3 [f(x) - g(x)] \, dx = -3$
(e) $\int_{0}^3 g(x) \, dx = \frac{3}{2}$
(f) $\int_{-3}^3 f^3(x) \, dx = 0$.

Penjelasan Sederhana

1. Integral fungsi ganjil pada interval simetris selalu $0$.
2. Integral fungsi genap pada interval simetris adalah dua kali integral pada setengah interval positif.
3. Gunakan sifat $\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx$.

Ada pertanyaan atau butuh penjelasan tambahan? 😊 Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait untuk eksplorasi lebih lanjut:

1. Apa perbedaan sifat integral fungsi ganjil dan genap?
2. Bagaimana cara membuktikan sifat integral fungsi ganjil?
3. Apa efek jika fungsi $f(x)$ menjadi genap dan $g(x)$ menjadi ganjil?
4. Bagaimana integral $f^2(x)$ jika $f(x)$ ganjil? Apakah tetap ganjil?
5. Mengapa $f^3(x)$ tetap ganjil meskipun dipangkatkan tiga?

Tip: Saat bekerja dengan fungsi simetris, periksa selalu sifat ganjil/genap agar dapat menyederhanakan perhitungan integral.