我们求不定积分：

$I = \int \frac{dx}{\sin x (\sin x + \cos x)}$

第一步：分子分母同乘 $(\sin x - \cos x)$

我们利用恒等式：

$(\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x) = \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$

所以我们将分母扩展为：

$\sin x (\sin x + \cos x) = \frac{-\sin x (\sin x - \cos x)}{\cos 2x}$

因此，将积分转换为：

$I = -\int \frac{(\sin x - \cos x) dx}{\cos 2x (\sin x - \cos x)}$

第二步：变量代换

设：

$t = \cos 2x$

则有：

$dt = -2\sin 2x dx = -4\sin x \cos x dx$

又因为：

$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$

所以分子和分母约去 $\sin x - \cos x$，得到：

$I = -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{t}$

第三步：计算积分

$I = -\frac{1}{2} \ln |t| + C$

代回 $t = \cos 2x$：

$I = -\frac{1}{2} \ln |\cos 2x| + C$

最终结果

$\int \frac{dx}{\sin x (\sin x + \cos x)} = -\frac{1}{2} \ln |\cos 2x| + C$

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你需要更详细的推导过程或替代方法吗？
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小提示：
在处理三角函数积分时，尝试使用 倍角公式、辅助角公式 或 变量代换 来简化表达式。