Bu integrali parçalara ayırma yöntemi kullanarak çözelim.

İlk olarak, integrali şu şekilde yazalım: $\int \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx$

Parçalara ayırma yöntemi (integrasyon by parts) için şu formülü kullanıyoruz: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Bu formülde $u$ ve $dv$ seçmemiz gerekiyor. Seçimlerimizi yapalım: $u = \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right)$ $dv = dx$

Şimdi $u$'nun türevini ve $dv$'nin integralini hesaplayalım: $du = \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right) dx$ $\frac{d}{dx} \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right) = \frac{-1}{\sqrt{1 - \left( \frac{x}{2} \right)^2 }} \cdot \frac{1}{2} = \frac{-1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}} = \frac{-1}{\sqrt{4 - x^2}}$

Bu durumda, $du = \frac{-1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$

Ve $dv = dx$'nin integrali, $v = x$

Artık parçalara ayırma formülüne uygulayabiliriz: $\int \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx = x \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) - \int x \cdot \frac{-1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx$

Bu ifadeyi sadeleştirelim: $\int \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx = x \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + \int \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx$

Şimdi ikinci integrali çözelim. Bu integral için trigonometric substitution kullanabiliriz. Substitution yaparak, $x = 2 \sin(\theta)$ $dx = 2 \cos(\theta) d\theta$

Bu durumda, $\int \frac{2 \sin(\theta)}{\sqrt{4 - 4 \sin^2(\theta)}} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta = \int \frac{2 \sin(\theta)}{2 \cos(\theta)} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta = \int 2 \sin(\theta) \, d\theta$

Bu integral basittir: $2 \int \sin(\theta) \, d\theta = -2 \cos(\theta) + C$

Şimdi $\theta$'yı $x$'e geri çevirelim: $x = 2 \sin(\theta) \implies \sin(\theta) = \frac{x}{2} \implies \cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left( \frac{x}{2} \right)^2 } = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}$

Sonuçta, $-2 \cos(\theta) = -2 \cdot \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} = -\sqrt{4 - x^2}$

Bu durumda integrali şu şekilde yazarız: $\int \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx = x \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) - \sqrt{4 - x^2} + C$

Sonuç olarak, $\boxed{\int \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx = x \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) - \sqrt{4 - x^2} + C}$

Detaylar veya sorularınız var mı?

Sorabileceğiniz beş soru:

1. Parçalara ayırma yöntemi nasıl çalışır?
2. Trigonometric substitution nasıl yapılır?
3. İntegral alma teknikleri nelerdir?
4. Hangi durumlarda parçalara ayırma yöntemi kullanılır?
5. İntegral problemlerinde yaygın hatalar nelerdir?

İpucu: Parçalara ayırma yönteminde $u$ ve $dv$ seçimlerini dikkatlice yaparak integrali basitleştirebilirsiniz.