https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1722102915205pm3glnkf.png

Parçalara göre integral alma yöntemini kullanarak bu işlemi yap

Bu integrali parçalara ayırma yöntemi kullanarak çözelim. 

İlk olarak, integrali şu şekilde yazalım:
\[ \int \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx \]

Parçalara ayırma yöntemi (integrasyon by parts) için şu formülü kullanıyoruz:
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Bu formülde \( u \) ve \( dv \) seçmemiz gerekiyor. Seçimlerimizi yapalım:
\[ u = \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \]
\[ dv = dx \]

Şimdi \( u \)'nun türevini ve \( dv \)'nin integralini hesaplayalım:
\[ du = \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right) dx \]
\[ \frac{d}{dx} \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \right) = \frac{-1}{\sqrt{1 - \left( \frac{x}{2} \right)^2 }} \cdot \frac{1}{2} = \frac{-1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}} = \frac{-1}{\sqrt{4 - x^2}} \]

Bu durumda,
\[ du = \frac{-1}{\sqrt{4 - x^2}} dx \]

Ve \( dv = dx \)'nin integrali,
\[ v = x \]

Artık parçalara ayırma formülüne uygulayabiliriz:
\[ \int \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx = x \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) - \int x \cdot \frac{-1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx \]

Bu ifadeyi sadeleştirelim:
\[ \int \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx = x \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + \int \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx \]

Şimdi ikinci integrali çözelim. Bu integral için trigonometric substitution kullanabiliriz. Substitution yaparak,
\[ x = 2 \sin(\theta) \]
\[ dx = 2 \cos(\theta) d\theta \]

Bu durumda,
\[ \int \frac{2 \sin(\theta)}{\sqrt{4 - 4 \sin^2(\theta)}} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta = \int \frac{2 \sin(\theta)}{2 \cos(\theta)} \cdot 2 \cos(\theta) \, d\theta = \int 2 \sin(\theta) \, d\theta \]

Bu integral basittir:
\[ 2 \int \sin(\theta) \, d\theta = -2 \cos(\theta) + C \]

Şimdi \( \theta \)'yı \( x \)'e geri çevirelim:
\[ x = 2 \sin(\theta) \implies \sin(\theta) = \frac{x}{2} \implies \cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left( \frac{x}{2} \right)^2 } = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} \]

Sonuçta,
\[ -2 \cos(\theta) = -2 \cdot \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2} = -\sqrt{4 - x^2} \]

Bu durumda integrali şu şekilde yazarız:
\[ \int \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx = x \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) - \sqrt{4 - x^2} + C \]

Sonuç olarak,
\[ \boxed{\int \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) \, dx = x \cos^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) - \sqrt{4 - x^2} + C} \]

Detaylar veya sorularınız var mı?

Sorabileceğiniz beş soru:
1. Parçalara ayırma yöntemi nasıl çalışır?
2. Trigonometric substitution nasıl yapılır?
3. İntegral alma teknikleri nelerdir?
4. Hangi durumlarda parçalara ayırma yöntemi kullanılır?
5. İntegral problemlerinde yaygın hatalar nelerdir?

İpucu: Parçalara ayırma yönteminde \( u \) ve \( dv \) seçimlerini dikkatlice yaparak integrali basitleştirebilirsiniz.

Learn how to solve the integral of arccos(x/2) using both Integration by Parts and Trigonometric Substitution methods. This problem involves advanced techniques in integral calculus and is suitable for university-level students or those preparing for advanced calculus exams.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation