Yhtälö on siis $x^3 + y^3 - 3xy = 0$, ja tehtävänä on piirrä ratkaisukäyrä sekä laskea tangentin kulmakerroin pisteessä $\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$.

Ratkaisukäyrän piirtäminen:

Yhtälön ratkaisujoukko voidaan piirtää numeerisesti digitaalisilla apuvälineillä. Tässä voidaan käyttää esimerkiksi Pythonia, mutta koska en voi suoraan piirtää kuvaa tässä, suosittelen käyttämään esimerkiksi seuraavia ohjelmia tai työkaluja:

• GeoGebra
• Desmos
• Matplotlib Pythonissa

Käytetään implisiittistä derivointia tangentin kulmakertoimen laskemiseen.

1. Implisiittinen derivointi:

Lähdetään derivoinnista:

Yhtälö on: $x^3 + y^3 - 3xy = 0$

Derivoimme molemmat puolet $x$:n suhteen, ottaen huomioon, että $y$ on funktiona $x$, eli $y = y(x)$.

$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) - \frac{d}{dx}(3xy) = 0$

Käytämme ketjusääntöä ja tulon sääntöä:

$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - \left( 3y + 3x \frac{dy}{dx} \right) = 0$

Järjestellään kaikki $\frac{dy}{dx}$-termit yhteen:

$3x^2 - 3y = 3y^2 \frac{dy}{dx} - 3x \frac{dy}{dx}$

Voimme ryhmitellä $\frac{dy}{dx}$ termit:

$3x^2 - 3y = \frac{dy}{dx} (3y^2 - 3x)$

Ratkaisemme $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 3y}{3y^2 - 3x} = \frac{x^2 - y}{y^2 - x}$

2. Tangentin kulmakerroin pisteessä $\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$:

Nyt voimme laskea tangentin kulmakertoimen pisteessä $\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$, eli sijoitamme $x = \frac{2}{3}$ ja $y = \frac{4}{3}$ kaavaan:

$\frac{dy}{dx} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{3}}{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - \frac{2}{3}}$

Lasketaan yksityiskohdat:

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{4}{9} - \frac{4}{3}}{\frac{16}{9} - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{4}{9} - \frac{12}{9}}{\frac{16}{9} - \frac{6}{9}} = \frac{-\frac{8}{9}}{\frac{10}{9}} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$

3. Varmistus visuaalisesti:

Tässä vaiheessa voit tarkistaa, että ratkaisukäyrä piirtyy järkevästi ja että tangentin kulmakerroin $-\frac{4}{5}$ vastaa odotuksia, kun tarkastellaan kahta pistettä, jotka ovat lähekkäin.

Tiivistys:

• Tangentin kulmakerroin pisteessä $\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$ on $-\frac{4}{5}$.

Haluatko tarkempaa selitystä jostain vaiheesta tai lisäapua muissa laskelmissa?

Lisäkysymyksiä:

1. Miten voidaan käyttää numeerisia menetelmiä tämän tyyppisten yhtälöiden piirtämiseen?
2. Mikä on implisiittisen derivoinnin rooli geometrisessa analyysissä?
3. Miten tangentin kulmakertoimen laskeminen voi auttaa muissa matemaattisissa ongelmissa?
4. Mitä muuta tietoa voimme päätellä ratkaisukäyrän muodosta ilman numeerista laskentaa?
5. Kuinka lähestyä monimutkaisempia implisiittisiä yhtälöitä ja niiden ratkaisukäyriä?

Vinkki: Käytä digitaalisia työkaluja tarkistaaksesi ratkaisun oikeellisuuden visuaalisesti, erityisesti kun työskentelet implisiittisten yhtälöiden kanssa.