Tentukan 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ⁄ dari fungsi berikut ini: 4𝑥7𝑦6 𝑦2

Kita akan menghitung turunan implisit $\frac{dy}{dx}$ dari fungsi yang diberikan:

$\frac{4x^7 y^6}{y^2} = \frac{3x^5 y^4}{x^3}.$

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Sederhanakan persamaan awal
   Kita mulai dengan menyederhanakan kedua sisi:

$\frac{4x^7 y^6}{y^2} = 4x^7 y^{6-2} = 4x^7 y^4,$ $\frac{3x^5 y^4}{x^3} = 3x^{5-3} y^4 = 3x^2 y^4.$

Jadi persamaan menjadi: $4x^7 y^4 = 3x^2 y^4.$

2. Eliminasi faktor umum
   Faktor $y^4$ ada di kedua sisi, sehingga bisa disederhanakan (dengan asumsi $y \neq 0$):

$4x^7 = 3x^2.$

3. Turunkan secara implisit
   Sekarang, turunkan kedua sisi terhadap $x$:

$\frac{d}{dx} \big( 4x^7 \big) = \frac{d}{dx} \big( 3x^2 \big).$

Hitung turunan masing-masing: $28x^6 = 6x.$

4. Selesaikan turunan
   Sederhanakan untuk menemukan hubungan:

$28x^6 - 6x = 0.$

Faktorkan $x$: $x(28x^5 - 6) = 0.$

Solusinya adalah: [ x = 0 \quad \text{atau} \quad x = \sqrt[5]{\frac{6}{28}} = \sqrt[5]{\frac{3}{14}}. ]

Jika $x = 0$, maka turunan tidak terdefinisi karena fungsi melibatkan pembagian oleh $x$.

---

Jawaban Akhir:

Turunan implisit memberikan dua kemungkinan $x$-nilai kritis, yaitu:

$x = \sqrt[5]{\frac{3}{14}}, \quad x \neq 0.$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau langkah tambahan?

---

5 Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menyelesaikan turunan implisit jika fungsi melibatkan pecahan lebih kompleks?
2. Apa langkah untuk menyederhanakan eksponen saat terdapat $y$-fungsi?
3. Bagaimana penanganan kasus ketika variabel bernilai nol?
4. Apa arti solusi $x$ dalam konteks turunan implisit ini?
5. Bagaimana aplikasi turunan implisit pada kasus nyata (misalnya, fisika)?

Tip: Selalu periksa penyederhanaan persamaan sebelum mulai menurunkan untuk menghindari langkah ekstra.