Дано неявное уравнение:

$e^y + xy = e$

Найти производную $\frac{dy}{dx}$ в точке $x_0 = 0$, $y > 0$.

Шаг 1: Найдём производную неявно

Дифференцируем обе части уравнения по $x$, применяя правило производной сложной функции:

$\frac{d}{dx} (e^y + xy) = \frac{d}{dx} (e)$

Производная правой части $e$ равна 0, так как это константа.

Рассматриваем левую часть:

• Производная $e^y$ равна $e^y \cdot \frac{dy}{dx}$ (по правилу цепочки).
• Производная $xy$ равна $x \frac{dy}{dx} + y$ (по правилу производной произведения).

Получаем уравнение:

$e^y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$

Шаг 2: Выразим $\frac{dy}{dx}$

Вынесем $\frac{dy}{dx}$:

$(e^y + x) \frac{dy}{dx} = -y$

Разделим обе части на $e^y + x$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{-y}{e^y + x}$

Шаг 3: Подставим $x_0 = 0$

Подставляем $x = 0$ в выражение:

$\frac{dy}{dx} \Bigg|_{x = 0} = \frac{-y}{e^y}$

Теперь найдём $y$ из исходного уравнения при $x = 0$:

$e^y = e$

Следовательно, $y = 1$, так как $e^1 = e$.

Подставляем $y = 1$:

$\frac{dy}{dx} \Bigg|_{x = 0} = \frac{-1}{e^1} = -\frac{1}{e}.$

Ответ:

$\frac{dy}{dx} \Bigg|_{x = 0} = -\frac{1}{e}.$

Хотите подробное объяснение или разобрать другие примеры?

Связанные вопросы:

1. Как дифференцировать неявные функции?
2. В каких случаях применяется правило произведения при дифференцировании?
3. Как найти точку касательной к графику функции, заданной неявно?
4. Как проверить, существует ли производная в данной точке?
5. Как интерпретировать результат геометрически?

Совет:
При работе с неявными функциями удобно выражать $\frac{dy}{dx}$ в явном виде перед подстановкой значений.