Чтобы найти производную неявной функции $y$ от $x$, заданной уравнением

$2x^2 + 3y^2 - x - 4y - 5 = 0,$

мы будем использовать метод дифференцирования неявных функций. Для этого применим правило дифференцирования по переменной $x$, помня, что $y$ — это функция от $x$, то есть $y = y(x)$.

Шаги:

1. Дифференцируем уравнение по $x$: $\frac{d}{dx}\left( 2x^2 + 3y^2 - x - 4y - 5 \right) = 0.$

2. Применим правило дифференцирования:

   • Для $2x^2$ по $x$ получаем $4x$.
   • Для $3y^2$ по $x$ используем цепное правило: $6y \cdot \frac{dy}{dx}$.
   • Для $-x$ по $x$ получаем $-1$.
   • Для $-4y$ по $x$ применяем цепное правило: $-4 \cdot \frac{dy}{dx}$.
   • Производная от константы $-5$ равна 0.

Таким образом, уравнение для производной будет:

$4x + 6y \cdot \frac{dy}{dx} - 1 - 4 \cdot \frac{dy}{dx} = 0.$

3. Изолируем $\frac{dy}{dx}$:

$6y \cdot \frac{dy}{dx} - 4 \cdot \frac{dy}{dx} = 1 - 4x.$

$\frac{dy}{dx} \cdot (6y - 4) = 1 - 4x.$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 4x}{6y - 4}.$

4. Теперь подставим $x = 2$ и $y = 1$ в полученную формулу:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 4(2)}{6(1) - 4} = \frac{1 - 8}{6 - 4} = \frac{-7}{2}.$

Таким образом, производная функции $y$ в точке $(x = 2, y = 1)$ равна:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{2}.$

Ответ: $\frac{dy}{dx} = -\frac{7}{2}$.

Если вам нужно больше деталей или есть вопросы, уточните!

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Что такое неявная функция и как ее можно дифференцировать?
2. Как применить цепное правило в дифференцировании?
3. Как найти производную в точке на графике функции?
4. Почему важно учитывать зависимость $y$ от $x$ при дифференцировании?
5. Как решать задачи на нахождение производной, если функция задана уравнением?

Совет: Помните, что при дифференцировании неявных функций нужно всегда учитывать, что $y$ — это функция от $x$, и применять цепное правило для всех членов с $y$.