Untuk menentukan titik dan jenis stasioner dari fungsi $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$, kita akan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1: Mencari Turunan Pertama

Turunan pertama $f'(x)$ digunakan untuk menemukan titik-titik stasioner. Titik stasioner terjadi ketika $f'(x) = 0$.

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^4 - 2x^2 + 3 \right)$ $f'(x) = 4x^3 - 4x$

Langkah 2: Menyelesaikan $f'(x) = 0$

Untuk menemukan titik-titik stasioner, kita selesaikan persamaan $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 4x = 0$ $4x(x^2 - 1) = 0$ $4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Dari sini, kita mendapatkan tiga nilai $x$:

$x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1$

Jadi, titik-titik stasioner berada pada $x = 0$, $x = 1$, dan $x = -1$.

Langkah 3: Menentukan Jenis Titik Stasioner

Untuk menentukan jenis titik stasioner (minimum, maksimum, atau titik belok), kita perlu melihat tanda turunan kedua $f''(x)$ pada masing-masing titik stasioner.

Turunan kedua dari $f(x)$ adalah:

$f''(x) = \frac{d}{dx} (4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4$

Sekarang kita evaluasi $f''(x)$ pada titik-titik stasioner:

• Untuk $x = 0$: $f''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4$ Karena $f''(0) < 0$, maka $x = 0$ adalah titik maksimum lokal.

• Untuk $x = 1$: $f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$ Karena $f''(1) > 0$, maka $x = 1$ adalah titik minimum lokal.

• Untuk $x = -1$: $f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8$ Karena $f''(-1) > 0$, maka $x = -1$ adalah titik minimum lokal.

Kesimpulan

• Titik stasioner pada $x = 0$ adalah titik maksimum lokal.
• Titik stasioner pada $x = 1$ adalah titik minimum lokal.
• Titik stasioner pada $x = -1$ adalah titik minimum lokal.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menganalisis fungsi ini secara grafis?
2. Apa hubungan antara turunan dan kelengkungan grafik fungsi ini?
3. Bagaimana pengaruh perubahan koefisien terhadap titik stasioner?
4. Apakah mungkin ada lebih dari tiga titik stasioner untuk fungsi polinomial lain?
5. Bagaimana metode turunan diterapkan dalam analisis fungsional yang lebih kompleks?

Tip: Analisis titik stasioner bisa diperkuat dengan melihat grafik fungsi untuk mendapatkan visualisasi yang lebih jelas dari maksimum dan minimum lokal.